Universit´ e Paris 7 - Denis Diderot MT1401- L. Merel / R. Mneimn´ e
Examen Partiel – 13 Novembre 2007
Documents autoris´ es : polycopi´ e du cours, une feuille manuscrite personnelle.
Exercice I
SoitAun anneau int`egre. Soientx∈A∗etnun entier≥1. L’´el´ementxest dit d’ordrensi on axn= 1 etxd 6= 1 pour tout entierddivisantn,d6=n. Uneracine primitivene de l’unit´edans un corpsKest par d´efinition un ´el´ement d’ordrendeK∗.
Consid´erons le polynˆome Φ9(X) =X6+X3+ 1∈Z[X]. Soitζune racine primitive 9e de l’unit´e dansC.
1. Soitx∈A∗ tel que xn = 1 et x6= 1. Montrer que xn−1+· · ·+x2+x+ 1−n=−n, puis quex−1 divise n dansA.
2. SoitF un corps de caract´eristique finie pqui est un quotient de l’anneau A. Soit nun entier premier `a p. Soit x∈A∗ d’ordren. Sidest un diviseur>0 den, d6=n, montrer que l’image de xd−1 dansFdivise n/d, puis que cette image est inversible.
3. En d´eduire que tout ´el´ement d’ordrendansAa pour image dansFun ´el´ement d’ordren.
4. Montrer que les racines de Φ9dansCsont les racines primitives 9e de l’unit´e.
5. Montrer que Φ9 est irr´eductible surQ. (On pourra s’int´eresser `a Φ9(X+ 1).) Est-il irr´eductible surZ? 6. Montrer que l’anneau quotientZ[X]/(Φ9) est isomorphe au sous-anneauZ[ζ] deCengendr´e parζ.
7. Montrer que le groupeZ[ζ]∗des ´el´ements inversibles deZ[ζ] contient un groupe cyclique d’ordre 18.
8. Montrer que l’image de Φ9dansF2[X] est irr´eductible. En d´eduire que l’anneauk=Z[X]/(Φ9,2) est un corps fini `a 26´el´ements. Montrer que l’ordre de tout ´el´ement dek∗ divise 63.
9. Montrer que l’image de Φ9 dans F19[X] est scind´ee. En d´eduire que l’anneau Z[X]/(Φ9) poss`ede un corps quotient `a 19 ´el´ements.
10. Montrer que les ´el´ements d’ordre fini du groupeZ[ζ]∗ sont au nombre de 18.
Exercice II
Soit K un corps commutatif. Pour n ≥ 1, on notera (e1, . . . , en) la base canonique du K-espace vectoriel Kn. Pour A∈M(n,K), on noteraI1(A) l’ensemble des polynˆomes Q∈K[X] tels queQ(A)(e1) = 0. Enfin, pourP(X) = Xn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0∈K[X], on noteraCP(T)∈M(n,K[T]) la matrice
CP(T) =
−T 0 · · · 0 −a0
1 −T · · · 0 −a1
0 1 . .. ... ... ... . .. . .. −T −an−2 0 · · · 0 1 −an−1−T
.
La matricecP =CP(0) est appel´ee lamatrice compagnondu polynˆomeP.
1. On fixeA ∈ M(n,K). Montrer que l’application K[X]×Kn → Kn qui `a (Q, e) associe Q(A)e fait deKn un K[X]-module. Montrer que l’application K[X] → Kn qui `a Q associe Q(A)(e1) est un homomorphisme de K[X]-modules. En d´eduire queI1(A) est un id´eal deK[X].
2. ´Ecrire la matrice de Sylvester associ´ee aux polynˆomesX−T etP(X) (vus comme polynˆomes en l’ind´etermin´ee X `a coefficients dans le corpsK(T)). Montrer alors que le d´eterminant de la matriceCP(T) est le r´esultant des polynˆomesX−T etP(X). En d´eduire (sans calcul) que le polynˆome caract´eristique decP estP.
3. Montrer que, lorsqueA=cP, leK[X]-moduleKn est engendr´e pare1. (On pourra montrer que ceK[X]-module contient e2,e3, . . .,en.)
4. Montrer que tout ´el´ement non nul deI1(cP) est de degr´e≥n.
5. Montrer queP ∈ I1(cP).
6. En d´eduire que le polynˆome minimal decP estP et queI1(cP) est l’id´eal principal engendr´e par P.
7. SiP est irr´eductible, montrer que le sous-anneauK[cP] deM(n,K) est un corps. Quelle est sa dimension comme K-espace vectoriel ?
8. Donner un exemple de polynˆome irr´eductible de degr´endansQ[X].
9. SoitF un sous-espace vectoriel de M(n,Q), de dimension≥n2−n+ 1. D´emontrer qu’il contient un ´el´ement inversible deM(n,Q).
10. Y a-t-il des sous-espaces vectoriels de dimensionn2−ndeM(n,Q) sans ´el´ement inversible ?
