Universit´ e Paris 7 MT1 MM1

Universit´ e Paris 7 MT1 MM1

L1, Sciences exactes 2010-2011

SECTION B et D (Cours : B. Gentou)

Examen de seconde session du 14 juin 2011

Dur´ ee : 3 heures. Sans document, ni calculette, t´ el´ ephones mobiles ´ eteints et rang´ es.

Exercice 1.

D´ eterminer tous les nombres complexes z tels que

z

= 16 − 16 i √ 3 Exercice 2.

On consid` ere les fonctions polynˆ omes suivantes :

P (x) = x

+ (1 − 2i)x

+ (3 − 6i)x

+ (3 − 6i)x

+ (2 − 6i)x + 2 − 4i Q(x) = x

+ x

+ x + 1

1. Factoriser Q(x) en un produit de polynˆ omes de degr´ e 1.

2. Effectuer la division euclidienne de P (x) par Q(x).

3. Factoriser P (x) en un produit de polynˆ omes de degr´ e 1.

Exercice 3.

Dans l’espace vectoriel R

, on consid` ere les vecteurs u

= (1, 3, 2, −1), u

= (2, −1, 1, −1), u

= (1, −1, 1, 1) et u

= (0, 1, 1, 1) et on note F le sous-espace vectoriel engendr´ e par ces 4 vecteurs.

1. D´ eterminer une ´ equation de F .

(u

, u

, u

, u

) est-elle une famille g´ en´ eratrice de R

?

2. Peut-on en d´ eduire si (u

, u

, u

, u

) est libre ou li´ ee ? Justifier.

3. D´ eterminer la dimension de F .

4. Soit m un r´ eel, on consid` ere le syst` eme S

suivant :



 



 



x

+ 2x

+ x

= m

3x

− x

− x

+ x

= −m 2x

+ x

+ x

+ x

= m

−x

− x

+ x

+ x

= 1

D’apr` es la question 1, pour quelles valeurs de m ce syst` eme admet-il au moins une solution ? 5. On suppose m = 1. D´ efinir g´ eom´ etriquement l’ensemble des solutions du syst` eme S

.

Exercice 4.

1. Soit f : R → R une fonction d´ efinie sur R , donner la d´ efinition exacte (` a l’aide d’un r´ eel ε > 0) de la formule : lim

x→+∞

f (x) = 0

2. ´ Etudier la d´ erivabilit´ e sur R de la fonction f d´ efinie par : f (0) = 0

f (x) = x

ln x

pour tout r´ eel x 6= 0.

1

Exercice 5. On consid` ere la fonction f : [0, +∞[ → R d´ efinie par : f(x) = 2x + π

4 − arctan x.

Rappel : pour tout x ∈ R , arctan

(x) = 1 1 + x

.

1. Calculer f (0) et f(1). ´ Etudier les variations de f sur [0, +∞[.

2. Montrer que f est une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle I que l’on pr´ ecisera.

3. Montrer que l’application f

est d´ erivable sur I.

4. Calculer les valeurs (f

)

π 4

et (f

)

(2) de la d´ eriv´ ee de f

en π

4 et en 2.

Exercice 6.

On consid` ere la fonction f : R → R d´ efinie par f(x) = x 2 + 1

x et la suite (u

)

d´ efinie par : u

= 1

u

= f(u

) . On note I = [1, 2].

1. Montrer que pour tout x ∈ I, f(x) ∈ I et en d´ eduire que pour tout n ∈ N , u

est d´ efinie et appartient ` a I.

2. Montrer avec soin que si la suite (u

) converge alors sa limite l apartient ` a I et v´ erifie f (l) = l.

3. En d´ eduire que si la suite (u

) converge alors sa limite est √ 2.

4. Montrer, ` a l’aide de l’in´ egalit´ e des accroissements finis, que pour tous x et y dans I, |f (x) − f (y)| 6 1

2 |x − y|

5. En d´ eduire que pour tout n ∈ N :

u

− √ 2

6 1 2

u

− √ 2

.

6. Montrer que pour tout n ∈ N :

u

− √ 2

6 1 2

. 7. Que peut-on en conclure pour la suite (u

) ?

8. Comment obtenir, ` a l’aide des r´ esultats pr´ ec´ edents, une approximation de √

2 par un nombre rationnel avec une erreur inf´ erieure ` a 10

?

9. Question hors bar` eme :

Montrer que pour tout n ∈ N : u

− √

2 = (u

− √ 2)

2u

, et en d´ eduire que :

u

− √ 2

6

u

− √ 2

2

. Puis montrer que : ∀n ∈ N ,

u

− √ 2

6 1

2

.

Comparer cette majoration d’erreur ` a celle trouv´ ee ` a la question 6.

2