Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2011–2012 DEGEAD 1er cycle
Soutien- Semaine 3 - Test 1 Novembre 2006
1) V´erifier que la fonction (x 7→ lnx) est concave sur son ensemble de d´efinition, et en d´eduire que
∀x >0, lnx6x−1.
Dans toute la suite, on ´etudie la fonction f :x7→f(x) = lnx x−lnx. 2) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.
3) Montrer quef estC2sur son ensemble de d´efinition, et calculer sa d´eriv´ee.
4) ´Ecrire la formule de Taylor-Young pourf `a l’ordre 2 au point x0 = 1. En d´eduire l’´equation de la tangente en ce point et la position de la courbe par rapport `a `a sa tangente au voisinage de ce point.
5) Quelle est l’approximation affine def au voisinage de 1 ? En d´eduire une valeur approch´ee def(1,01).
6) Montrer quef peut se prolonger par continuit´e en 0 en posantf(0) = −1.
On note encore f son prolongement.
7) Montrer que la fonction ainsi prolong´ee est d´erivable `a droite en 0. La d´eriv´ee est-elle continue `a droite en 0 ?
8) ´Etudier les variations def et tracer sommairement sa courbe repr´esentative en indiquant les tangentes aux points (0, f(0)) et (1, f(1)). D´eterminer les extrema, locaux et globaux, de f sur ]0,+∞[ ? Et sur [0,+∞[ ?
9) En fonction des valeurs dey, discuter le nombre de solutions de l’´equation f(x) =y.
1
