LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016
Devoir maison no12 – mathématiques Donné le 03/02/2016 – à rendre le 24/02/2016
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[par :
f(x) = 2x a(lnx)2+blnx+c
où a, b et csont des réels.
Sa courbe représentativeC dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La droiteT est tangente C au point d’abscisse e. Les tangentes àC aux points d’abscisse 1e et √
esont horizontales.
x y
e 2 e
√e
1 e
e 2
O 0,5
1
C
T
1. (a) Exprimer f0(x) en fonction de a, b etc.
(b) À l’aide des informations précédentes et de celles notées sur le graphique, déterminer graphiquement les valeurs de :
f0
1
e
,f0 √ e
et f0(e)
(c) En déduire que pour toutx∈]0; +∞[ :
f(x) = 2x 2(lnx)2−3 lnx+ 2
2. (a) Montrer que pour toutx∈]0; +∞[,
f0(x) = 2(lnx+ 1)(2 lnx−1) (b) En déduire le sens de variation def
(c) Donner les valeurs exactes des extrema def.
