La droiteT est tangente C au point d’abscisse e

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016

Devoir maison n^o12 – mathématiques Donné le 03/02/2016 – à rendre le 24/02/2016

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[par :

f(x) = 2x a(lnx)²+blnx+c

où a, b et csont des réels.

Sa courbe représentativeC dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La droiteT est tangente C au point d’abscisse e. Les tangentes àC aux points d’abscisse ¹_e et √

esont horizontales.

x y

e 2 e

√e

1 e

e 2

O 0,5

1

C

T

1. (a) Exprimer f⁰(x) en fonction de a, b etc.

(b) À l’aide des informations précédentes et de celles notées sur le graphique, déterminer graphiquement les valeurs de :

f⁰

1

e

,f⁰ √ e

et f⁰(e)

(c) En déduire que pour toutx∈]0; +∞[ :

f(x) = 2x 2(lnx)²−3 lnx+ 2

2. (a) Montrer que pour toutx∈]0; +∞[,

f⁰(x) = 2(lnx+ 1)(2 lnx−1) (b) En déduire le sens de variation def

(c) Donner les valeurs exactes des extrema def.