An1 est le point d’intersection de la tangente à la courbe C au point Bn et de l’axe  Ox  Tn est le triangle A B An n n1

(1)

Vdouine – Terminale S – 2015/2016

Devoir maison 11 Page 1

Ce devoir maison vous invite à travailler sur des exercices à prise d’initiatives.

Toute trace de recherche sera prise en compte, c’est la démarche mathématique qui intéresse le correcteur.

EXERCICE 1

 Suites numériques

 Fonction exponentielle

La courbe C représente, dans un repère du plan, la fonction exponentielle. On considère les points A0 0; 0 et B0 0;1 . Pour tout n :

 B_n est le point de C de même abscisse x_n que A_n.

 A_n_₁ est le point d’intersection de la tangente à la courbe C au point B_n et de l’axe  ^Ox

 T_n est le triangle A B A_n _n _n_₁.

La somme des aires des triangles T₀, T₁, …, T_n admet-elle une limite quand n tend vers  ? Pourquoi ?

EXERCICE 2

 Nombre de solutions d’une équation

 Fonction logarithme népérien

Déterminer, en fonction de n entier naturel non nul, le nombre de points d’intersection de la fonction exponentielle et de la fonction puissance n.

Deux indications sont données. On démontrera que l’équation  E1 e^xxⁿ 0 modélise le problème. On démontrera que cette équation est équivalente à l’équation  2 ln  x 0

E x

  n . EXERCICE 3

 Géométrie dans l’espace

 Calcul de longueurs et d’aires dans l’espace

Dans un tétraèdre ABCD trirectangle en A, le carré de l'aire de la face BCD est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces.

Ce théorème est appelé « théorème de Pythagore dans l’espace ». Démontrer ce théorème.