Théorème sur la somme de deux carrés ; d'après Euler

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Théorème sur la somme de deux carrés ; d’après Euler

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 12 (1853), p. 46-47

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1853_1_12__46_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1853, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

THÉORÈME SUR LA SOMME DE DEUX CARRÉS;

D'APRÈS EULER.

THÉORÈME, a2 -f- é2 na aucun diviseur premier de la forme 4n —l > a moins que a et b aient un tel diviseur pour facteur commun.

Démonstration .aetb n'étant pas divisibles par 4 n— i, il s'ensuit (Fermât) que «4n~2—£*"-* s e r a divisible par le nombre premier 4 « —i ; donc #⁴"-²4-£^{4 r t}~² ne sera pas divisible parce nombre premier. Mais a²-f-£²est un fac- teur de a4n~2-h&4"~2; donc, etc. [Correspondance ma- thématique et physique^ t. I , p. 116. Lettre à Goldbach, de Berlin , 6 mars 174²)•

( 4 7 )

Dans la même Lettre, on trouve cette simple démonstra- tion du théorème de Fermât.

1. Lemme. p étant un nombre premier, on a

( i ) (a -+-b)P — aP— bP = p .

2. Lemme. Si

aP — a—p,

on aura aussi

( a + !)/• — [a -M) =p.

Démonstration. Dans la congruence (t), faisons

b = i,

il vient

(a -+• i)P — aP — i=p,

ou bien

(a + iY — (a-h 0— (aP — a)=p;

mais, par hypothèse,

örp — a z= p .

Donc, etc.

3.

p étant un nombre premier, on a

a? — a ~ p.

Démonstration. On a

i f — i = p ;

donc, d'après le lemme 2,

%P—2=/;, 3^ — 3 = /?, etc.