Comment représenter la courbe d’une fonction ?
1) On place les points du tableau de variation dont les coordonnées sont connues.
2) Si l’on connaît le nombre dérivé associé à ces points, on trace la tangente en ces points : le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente.
Rappel : l’équation de la tangente au point d’abscisse est
Remarque : si une fonction n’est pas
dérivable en un point et si la limite du taux d’accroissement est infinie, la courbe
admet une tangent verticale en ce point.
Ex : la fonction racine carrée en 0 :
3) Si l’on a étudié la concavité de la fonction, on aura une idée plus précise du tracé.
Rappel : Si est deux fois dérivable (ce qui est vrai dans la grande majorité des cas), est concave lorsque ′′ est négative, est convexe lorsque ’’ est positive.
4) Y a-t-il un point d’inflexion ?
Rappel : la courbe de admet
un point d’inflexion lorsque change de concavité, autrement dit quand ’’ s’annule et change de signe.
La courbe de traverse la tangente en ce point.
5) Les branches infinies : Bien prendre en compte les asymptotes (horizontales, verticales ou obliques) étudiées lors des limites ou encore les branches paraboliques (horizontales, verticales ou de direction affine).
Si lim
→ = ±∞ ∶ la courbe de admet une asymptote verticale déquation = Ex : fonction ln en 0
Si lim
→±( = ) ∶ la courbe de admet une asymptote horizontale déquation = ) Ex : fonction exp en −∞
Si lim
→±( = ±∞ ∶ on étudie lim
→±(
Si lim
→±(
= 0 ∶ la courbe de admet une branche parabolique horizontale Ex : fonction ln en +∞
Si lim
→±(
= ±∞ ∶ la courbe de admet une branche parabolique verticale Ex : fonction exp en +∞
Si lim
→±(
= ≠ 0, on étudie lim
→±( − ∶ Si lim
→±( − = ), la courbe de admet une asymptote oblique déquation = + )
Si lim
→±( − = ±∞, la courbe de admet une branche parabolique de direction la droite d′équation =
