Étude de la concavité d’une courbe

www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

L’étude des fonctions

Étude des branches in…nies (Résumer)

Axe de symétrie–Centre de symétrie

Propriété 1 Soitf une fonction et(C_f)sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que la droite ( ) d’équationx=a soit un axe de symétrie de la courbe (C_f), il faut et il su¢ t que pour tout x2D_f :

(2a x)2D_f et f(2a x) =f(x) Exemple 2 On considère la fonction f dé…nie par :

f(x) = 2x² 4x+ 3 x² 2x

Montrons que la droite ( ) d’équation x= 1 est un axe de symétrie de la courbe (C_f): L’ensemble de dé…nition de la fonction f est : D_f =R n f0;2g:

1

Soit x2R:

x 2 D_f () x6= 0 et x6= 2 () x6= 0 et x6= 2 () 2 x6= 2 et 2 x6= 0 () (2 x)2D_f

D’autre part, soit x2D_f:

f(2 x) = 2 (2 x)² 4 (2 x) + 3 (2 x)² 2 (2 x)

= 2 (4 4x+x²) 8 + 4x+ 3 4 4x+x² 4 + 2x

= 2x² 4x+ 3 x² 2x

= f(x):

Par suite la droite ( ) d’équation x= 1 est un axe de symétrie de la courbe (C_f): Propriété 3 Soit f une fonction et (Cf) sa courbe représentative dans un repère donné.

Pour que le point (a; b) soit un centre de symétrie de la courbe (C_f), il faut et il su¢ t que pour tout x2D_f :

(2a x)2D_f et f(2a x) = 2b f(x) Exemple 4 On considère la fonction f dé…nie par :

f(x) = 2x²+ 3x 5 x 1

Montrons que (1;7) est un centre de symétrie de la courbe (C_f): L’ensemble de dé…nition de la fonction f est : D_f =R n f1g: Soit x2R:

x2D_f () x6= 1 () x6= 1 () 2 x6= 1 () (2 x)2D_f Soit x2D_f: Montrons que : f(2 x) = 14 f(x):

On a

f(2 x) = 2 (2 x)²+ 3 (2 x) 5 (2 x) 1

= 2 (4 4x+x²) + 6 3x 5 x+ 1

= 2x²+ 11x 9 x 1

2

et

14 f(x) = 14 2x²+ 3x 5 x 1

= 14 (x 1) (2x²+ 3x 5) x 1

= 2x²+ 11x 9

x 1 :

Donc

(8x2D_f); f(2 x) = 14 f(x):

Par suite le point (1;7) est un centre de symétrie de la courbe (C_f):

Les fonctions périodiques

Dé…nition 5 Soit f :D_f ! R et soit T 2]0;+1[. On dit que T est une période pour f si :

pour tout x 2D_f; (x+T)2D_f et f(x+T) =f(x)

Exemple 6 Pour tout x 2R on a : (x+ 2 )2 R et sin (x+ 2 ) = sinx: Donc la fonction sin est périodique de période 2 :

Étude de la concavité d’une courbe

Dérivée seconde

Dé…nition 7 Soit une fonction f deux fois dérivable sur I: On appelle dérivée seconde de f, notéef⁰⁰, la fonction dérivée def⁰ : (f⁰)⁰ =f⁰⁰:

Exemple 8 Soit la fonction f dé…nie sur R par:

f(x) = 2x³+ 5x² 3x 1 La fonction f est deux fois dérivables sur R:

8x2R; f⁰⁰(x) = 12x+ 10 Propriété 9 Soit f une fonction deux fois dérivable sur I:

f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x2I; f⁰⁰(x) 0:

f est concave sur I si, et seulement si, pour tout x2I; f⁰⁰(x) 0:

3

Exemple 10 Reprenons: f(x) = 2x³+ 5x² 3x 1, on a : f⁰⁰(x) = 12x+ 10:

f⁰⁰(x) = 0 () 12x+ 10 = 0 () x= ⁵₆: Donc

Sur 1; ₆⁵ on a f⁰⁰ 0: Donc la fonction f est concave.

Sur ₆⁵;+1 on a f⁰⁰ 0: Donc la fonctionf est convexe.

Point d’in‡exion

Dé…nition 11 Soit f une fonction et (C_f) sa courbe représentative. Un point d’in‡exion de la courbe(C_f)est un point où la courbe (C_f) traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexité change de sens.

Théorèm 12 Soit f une fonction deux fois dérivable sur I de courbe représentative (C_f): Soit A(a; f(a)) un point de (C_f) de tangente (T_a).

Si f⁰⁰(a) = 0 en changeant de signe alors (Cf) admet un point d’in‡exion en A.

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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