• POINT LIÉ À UNE COURBE

(1)

Mouvement du point matériel lié

• POINT LIÉ À UNE COURBE

• TRIEDRE DE FRENET

• POINT LIÉ À UNE COURBE POLIE

• PENDULE SIMPLE

• POINT LIÉ À UNE COURBE DÉPOLIE

(2)

Point lié à une courbe : généralités

Réaction de liaison :

• inconnue en norme

• direction d’une composante est celle du mouvement freiné

• polie ou dépolie (rugueuse)

O

P(u₀)

) (u r r =

(3)

Trièdre de Frenêt

Liaison polie : Liaison dépolie :

b

n

B 1

1 N

R = +

b n

t

N 1 B 1

1 T

R = + +

1

t

1

n

P

(4)

Point lié à une courbe polie (1)

• 3 inconnues :

• Théorème d'Huygens :

b

t B1

1 N R

(u) r r

+

=

n 2

t

s 1

1 s

a = + & ρ

&&













 

 + 

= +

=

+ ρ =

=

2 dt du du2

2s d dt2

2u d du s ds

b B

F 0

avec

n N

2 F ms

dt du du s ds

Ft s m

&&

&

&&

(5)

Point lié à une courbe polie (2)

N )

u n (

) F u (

u ) u du (

ds m

) u t (

F )

u ( du

s u d

) u du (

m ds

2

2 2

2

+ ρ =

 

 

 =







 



 +

&

&&

(6)

Pendule simple (1)

) 4 ( ) cos R (cos

g sin 2

d g d 2 ) R 1 (

) 3 (

B 0

) 2 ( N cos

mg mR

) 1 ( sin

mg mR

0 2

0 2 2

2

θ

− θ

= θ

− θ

⇔ θ

− θ =

⇒ θ

=

+ θ

−

= θ

θ

−

= θ

&

&&

y(verticale ascendante)

x(horizontale) o

1n 1^t

g m

R θ θ

θ

(7)

Pendule simple (2)

θ +

θ

− θ

=

⇒ N m ( R 2 g cos ) 3 mg cos )

2 ( et ) 4

( &

₀² ₀

θ +

θ

− θ θ

= θ

⇒ cos

R g cos 2

R g ) 2

( sign )

4

( & & &₀² ₀

(8)

Pendule simple (3)

• La force gravitationnelle dérive d'un potentiel V(θ) : - m g R cos θ

• Position d'équilibre stable

• Position d'équilibre instable

0 ,

0 2 0 d

2V d

= θ

>

θ

&

0 ,

2 0 d

2V d

= θ π

±

= θ

<

θ

&

-mgR

π π

− 2

π 2

− π ⁰

stable ^instable

instable

oscillation separatrice

mgR

u V(u)=-mgRcosu

circulation

(9)

Pendule simple (4)

• annulation de la vitesse :

• fil se replie :

• vitesse s’annulle avant que le fil ne se replie :

• fil se replie avant que la vitesse ne s’annulle :

R g 4

g

2 1 R

cos

²₀

2

*

θ

0

θ ≤

−

=

θ & &

R g

2

0

≤

θ &

R g 5

g

3 R 3

cos 2

²₀

2

* 0

*

θ θ ≤

−

=

θ & &

g 4 g

2

₂

≤ θ

≤ &

(10)

* π2

= u

R g 2

R g

4 R

g 5

* 2

* ₌ π u

0

*=

u u*=π

π

=

*

* u

2

u&0

(11)

Point lié à une courbe dépolie

• Les trois composantes de l'équation de Newton :

• 3 équations différentielles du 2ème ordre à 4 inconnues.

 



 



+

=

+ ρ =

+

=

B F

0 N s F

m

T F

s m

b t

n

&

2

&&

(12)

Point pesant lié à une courbe dépolie (1)

• Considérons : θ croissant,

• Loi de Coulomb

• Dans le premier quadrant :

0 ,

0 ₀

0 ≠ θ >

θ &



 



=

+ θ

−

= θ

− θ

−

= θ

) 3 (

0

) 2 ( N cos

mg mR

) 1 ( T sin

mg mR

&2

&&

(4) N f T =

g 2 d

) cos f R(sin

f g

cos fmg fmR

sin mg mR

) 1 (

) cos g R ( fm T

2 2

θ

θ +

θ

−

= θ + θ

⇒

θ

− θ

−

= θ

⇒

θ +

θ

=

&

&&

&

&&

&

(horizontale) x

y(verticale ascendante)

1t

1n

g m θ

(13)

APPLICATION DE LA 2ÈME LOI DE NEWTON MOUVEMENT RECTILIGNE

Une cabine d’inspection de masse 200 kg se déplace le long d’un câble suspendu. Le mouvement est contrôlé par un câble attaché en A.

Questions : Quelle est l’accélération du véhicule quand le câble de contrôle est horizontal et exerce une force T=2,4 kN ?

Quelle est la force totale P exercée par le câble de support sur les roues ?

(14)

APPLICATION DE LA 2ÈME LOI DE NEWTON MOUVEMENT CURVILIGNE : EXEMPLE 1

Question : Quelle est la vitesse maximum v que le bloc ci-dessous peut atteindre quand il arrive au point A afin de ne pas perdre contact avec la surface ?

(15)

APPLICATION DE LA 2ÈME LOI DE NEWTON MOUVEMENT CURVILIGNE : EXEMPLE 2

Des caisses sont lâchées depuis l’état de repos à partir de A et glissent le long de la surface circulaire de rayon R vers le convoyeur B.

Questions :Quelle est l’expression de la force normale en contact N entre le guide et chaque caisse en fonction de ?

Quelle est la vitesse angulaire du tambour du convoyeur de rayon r afin d’éviter le glissement des caisses sur les courroies quand ces caisses sont transférées sur le convoyeur ?

ω

θ

(16)

APPLICATION DE LA 2ÈME LOI DE NEWTON MOUVEMENT CURVILIGNE : EXEMPLE 3

Une voiture de 1500 kg aborde une section de route en courbes et ralentit de manière uniforme d’une vitesse de 100 km/h en A à une vitesse de 50 km/h quand elle arrive en C. Le rayon de courbure de la route en A est de 400 m et de 80 m en C.

Question : Quelle est la force horizontale exercée par la route sur les pneus pour les positions A, B et C? Le point B est le point d’inflexion où la courbure change de sens.

ρ

(17)

APPLICATION DU THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE : EXEMPLE 1

Un corps de 50 kg quitte A avec une vitesse initiale de 4m/s. Le coefficient de frottement entre ce corps et le plan incliné est de 0,30.

Question : Quelle est la vitesse du corps quand celui-ci atteint le point B ?

(18)

APPLICATION DU THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE : EXEMPLE 2

Un camion transporte une caisse de 80 kg. A partir d’une position arrêtée, il atteint la vitesse de 72 km/h après avoir parcouru une distance de 75 m sur une route horizontale, avec une accélération constante.

Question : Calculer le travail effectué par la force du frottement agissant sur la caisse pendant l’accélération. Les coefficients de frottement statiques et cinétiques entre la caisse et la plate-forme du camion sont respectivement de : 1) 0,30 et 0,28 ou 2) 0,25 et 0,20

(19)

APPLICATION DU THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE : EXEMPLE 3

Le bloc de 50 kg localisé en A est monté sur des roulettes. Il se meut le long d’un rail fixe horizontal avec un frottement négligeable sous l’action d’une tension constante dans le câble de 300 N. La position de repos est en A et correspond à un déplacement initial x₁=0,233 m. Le ressort a une rigidité k=80N/m.

Question : Quelle est la vitesse v du bloc quand il atteint la position B ?

(20)

APPLICATION DU THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE : EXEMPLE 4

L’enrouleur A tire une poutre de 360 kg le long d ’un plan incliné de 30° à une vitesse constante de 1,2 m/s. La puissance de l ’enrouleur est de 4kW.

Questions : Calculer le coefficient de friction cinétique entre la poutre et le plan incliné. Quelle est l ’accélération instantanée de la poutre lorsque la puissance est brutalement augmentée de 2kW ?

µk

(21)

ENERGIE POTENTIELLE - EXEMPLE 1

Le chariot présenté à la figure ci-dessous a une masse de 10 kg et se meut sans frottement le long du plan incliné. Le ressort auquel il est attaché a une raideur de 60N/m et présente une élongation de 0,6m au point A,

correspondant à la position de repos du chariot. La force de 250N est

constante et la poulie n'offre qu'une résistance négligeable au mouvement de la corde.

Question : Calculer la vitesse v du chariot quand il arrive en C.

(22)

ENERGIE POTENTIELLE - EXEMPLE 2

Le chariot présenté à la figure ci-dessous a une masse de 3 kg. Il quitte la

position de repos A et glisse sans frottement dans un plan vertical le long d'une tige circulaire. Le ressort attaché a une raideur de 350N/m et une longueur au repos de 0,6m.

Question : Déterminer la vitesse du chariot quand il franchit la position B

(23)

APPLICATION DU THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE

Le chariot chargé ci-dessous a une masse de 150 kg et descend le plan incliné à 4m/s quand une force P est appliquée au câble au temps t=0. La force P augmente uniformément avec le temps jusqu'à ce qu'elle atteigne 600 N en temps t=4s. Après ce moment-là la force reste constante.

Questions : (a) Calculer le moment t₁à partir duquel le chariot change de sens.

(b) Calculer la vitesse v du chariot quand t=8s.