Comment montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel ?
En général, on montre que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence parmi les ensembles suivants :
ℝ,
ℳ,(ℝ),
l’ensemble ℝℕ des suites numériques réelles, l’ensemble ࣛ(ܫ, ℝ) des applications de ܫ dans ℝ
L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels, noté ℝ[ܺ] (sous-ev de l’espace vectoriel des applications définies sur ℝ noté ࣛ(ℝ, ℝ)) L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ݊ (݊ ∈ ℕ), noté ℝ[ܺ] (sous-ev de ℝ[ܺ])
Plusieurs méthodes pour montrer que F est un sous-ev de E :
1) (i) ܨ est une partie non vide de ܧ ; (ii) ∀(ݔ; ݕ) ∈ ࡲଶ, ∀ߣ ∈ ℝ, ߣݔ + ݕ ∈ ࡲ.
2) On montre que ܨ = ܸ݁ܿݐ(݁ଵ; ݁ଶ; … ; ݁) où (݁ଵ; ݁ଶ; … ; ݁) est une famille de vecteurs de E à déterminer.
3) On montre que F est le noyau ou l’image d’une application linéaire
