f ) f 4 / * / 3 I :

DS n"1

Exercice 1

:

⁽⁵

points)

Questions de cours

(es

trois questions sont indépendantes)

l)

^Sans

justification,

_donner pour chacune des fonctions suivantes, son tableau de variation sur son ensemble de

définition

:

a)

f ^:x t---i

b)

f ^:x,---*

^c) .f ^:

x

t---+ x3

2)

Donner le sens de variation _{de la} fonction racine carcée sur [0 ; + æ[ et

3)

Démontrer

que

pour tous réels x et

y : _l*yl ^: _{lrl " lyl.}

Indication

: raisonner

par

disionction des cas suivant le signe de x et de y.

Exercice

2 :

⁽³

^points)

Valeurs absolues

1) Résoudre dans

R

l'équation _suivante

: lx-Sl=Z

2) Résoudre dans

R

l'inéquation _suivante

: lx+ 7||.5 3)

Résoudre dans

R l'inéquation

_lS

* *l

>

I

Exercice

3

⁽⁴

^points)

Variations de

fonction

Soit

_l) /

^la fonction définie sur

R

^par _{_f Qc):}

_-2x2 - ^{lzx *}

^13.

Montrer que pour tout réel

x, f ^{(x): -2}

^{(x + 3)2 + 5}

2) a) Etudier les variations de la fonction

,f

^sur

I *

; -31 puis sur

[-

^{3 ;}

+æ[ (ustifier

les différentes étapes).

b) Dresser le tableau de variation _de

/

^{sur R.}

Exercice

4

⁽⁴

^points)

Variations

defonction

Soit/

la fonction définie sur

R

^par

f (x):

I ,O

- ^Z*

l.

1) Exprimer

f

^{(x) sans utiliser} de valeur absolue

(ustifier).

2)

Étudiet les variations de la fonction

,f

sur R et dresser le tableau de variation de

/sur

^R.

3) Tracer la courbe représentative de

f

^dans un repère orthonormé (unité

:

1 cm).

Exercice

5:

( 4 points

)

^Vrai-Faux

on

donne le tableau des variations d'une fonction

f

définie sur

[-

^{5 ;} a ).

Pour chacune des

affirmations

proposées ci-dessous,

indiquer

si

elle

est vraie ou fausse en

justifiant _la

réponse.

r) f ^(r)

^<-f

^(2).

2)

Pour tout réel x de [-5;0]

, tF\ù ^< ,f(x) < [,f(x)]'.

10s 24t09tT4

I

heure

d)

f:x,----'lxf

le dÉmontrer.

x -5 ^{0 3 4}

f(x'l

3

_-1

." \ -'"

-tt \ /-

,-- \ .,'-

I -4

3) [.f(3)1', l.f(3,s )f'

Éléments de co{rection du DS n"1 Exejcice 2

:

¹⁾

_{lx -5'=z} e

^d{x ;5)=2

e

^{x = 3}

^{a$x :}

⁷

2)lx+71.5 ëd(x;-7)<5 ^c+- 12<x<-2ex ^€ l- ^t2;*21

3)15_rl> 3ad(x;5)73<+r(5-3ou x75+3<+x(2 ^ou x)8 ex€ l- æ;27u[8;+co[

Exercicq 3

:

^{1) Pour tout réel}

^{x, -2}

^(x

⁺

³⁾²

^{. t} :3Y:: f;::l;: ^,

lït-.:), ⁺ S>2{t+Z)2+i.Ainsisur[*3;+co[ tafonction/eststrictementdécroissante'

b) x ^{-co -?, +oo}

Variations

dEl

Esercice 4

: ^Soit/

^{la fonction} défrnie sur

R

^par

_f ^(x):

I tO

-zxl'

1r

§i 1* -b>0

e'est-a-diïe si x

(

5

alors/(x) :

_I

_to -bcl: ^{l0 -2'x'}

§i

^1ü

- ^1ï (

0 c'est-à-dire si x 25

alors/(x) :

_I t o

*

_?x

l= *

⁽¹⁰

-

^{2x )}

:

_2x

- ^l0'

:ï

^.*Lfusi,

^sul ]-oo; 5],/

^{est une} fonction afftne strictement décroissante

10s

:-* _-lb--13

=f

^(x)

2)

^{a) Soient}

^aetb

^{deuxréels de}

^I

^{-co ; -31}

^tels

^que

alb

'.

o<b<-3entrainea*3<b+3<O-iruisquelafonctioncarréeststrictementdécroissantesur]-æ;0]

alors a

+3 <b*i.

ô entraine (a + 3)

"

(n+3)2 puis -z(o+ 3)'t-2(b

^{+3)2 et enfin}

-i tr.l), ^*

⁵

^{<-2(a +l)}

^z

^{+ S.Ainsi}

^sur

^l

^{-<o ; -31 la}

fonction/est

strictement croissante'

Soient

a übdeuxréels

^de

[-

^{3 ;}

^+co[

^{tels que}

^a< b'

*3 <a<b entraine

0

< a+

3 <

r ^+r.

^nuisque

lafonctioncarréest

strictementcroissante sur

[0; ^+co[

alors 0 1a*i.7*lentraine(,*:);t tL+3)2 puis -2("+3)" 1(b+3)2etenfin

s

srlr i5;+ ^ro [

/

^{est une} fonction affine strictement croissante' ^{x -m 5 +rfl}

ffx)

0

E4ercice 5 ^:

* 1) /(1) <f{?)estuneaffirmation fausse'

En effet, ¹

<2

etsw

[0

^;3],

§lonction f

est strictement décroissante donc

/( ^{1)>f (2)'}

2) ^pour,our rurilï;iï, 'ffiiii;i;ilâtt.u,ne

^affrrmati

orvraie.En

effet, pour tout ^réet x &

[-5;0], f

^tx)

^>1

et on sait que pour

tout ^{Éel X-7} t' rfF<X<X2'

on

en aeauit urort

o"".trt ^l i _ft'l ^< [/(')]'

^'

, ^#i;)ÿ ï/Ëii;,i, "là*r-

ationvraie. En effet,

f ⁽³⁾ <!(3,5)

< 0 et_sur I

*

; ^01, la fonctio ca:ré est strictement décroissante.

on

en déduit

'ro"-o'" iii»ln ^{) {it3'5)72}

- *It