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Soit E euclidien, f une application de E dans E telle que (f (x)/f(y)) = (x/y) pour tout couple (x, y) de vecteurs de E . Montrer que f est linéaire et bijective.

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Texte intégral

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espaces vectoriels euclidiens - Espaces préhilbertiens réels

1.

(Eee01)

Soit E euclidien, f une application de E dans E telle que (f (x)/f(y)) = (x/y) pour tout couple (x, y) de vecteurs de E . Montrer que f est linéaire et bijective.

2.

(Eee02)

On prend arccos( kuk kvk (u/v) ) comme dénition de l'écart angulaire entre deux vecteurs dans un espace pré- hilbertien.

Existe-t-il trois vecteurs unitaires d'un espace euclidien dont les écarts angulaires deux à deux dépassent tous

2π 3 ?

On considère p vecteurs unitaires a 1 , · · · , a p , montrer qu'il existe un couple (i, j) tels que i 6= j et que l'écart angulaire entre a i et a j soit plus petit que

arccos

− 1 p − 1

3.

(Eee03)

Dans R 4 euclidien avec le produit scalaire cano- nique pour lequel la base canonique B est orthonormée), former la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rapport au plan d'équations

x 1 + x 2 − x 3 − x 4 =0 x 1 + 3x 2 + x 3 − x 4 =0

4.

(Eee04)

Soit A ∈ M n ( R ) , montrer que rg(A) = rg( t A A) . 5.

(Eee05)

Montrer que (./.) déni par (A/B) = tr( t A B) est

un produit scalaire sur M n ( R ) . Vérier que kABk ≤ kAk kBk

6.

(Eee06)

Dans R 4 euclidien (la base canonique B est ortho- normée), on dénit v 1 = (1, 2, −1, 1) , v 2 = (0, 3, 1, −1) et F = Vect(v 1 , v 2 ) . Déterminer un système d'équations et une base orthogonale de F .

7.

(Eee07)

Dans R 4 euclidien (la base canonique B est ortho- normée), le sous espace vectoriel F est l'ensemble des (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) vériant les équations

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0

Déterminer la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rapport à F .

8.

(Eee08)

Matrices de Gram

Soit x 1 , · · · , x p une famille de vecteurs d'un espace eu- clidien E et G(x 1 , · · · , x p ) ∈ M p ( R ) la matrice dont le terme i, j est (x i /x j ) .

a. Montrer que si la famille (x 1 , · · · , x p ) est liée alors la matrice G(x 1 , · · · , x p ) n'est pas inversible.

b. Soit x 1 , · · · , x p libre. Montrer qu'il existe des ma- trices inversibles P telles que

G(x 1 , · · · , x p ) = t P P.

En déduire que det G(x 1 , · · · , x p ) > 0 . Expliquer pourquoi on peut trouver une matrice P triangu- laire supérieure vériant la relation précédente.

Soit x un élément de E et m 1 , · · · , m p+1 les mineurs de G(x 1 , · · · , x p , x) associés aux indices

(p + 1, 1), (p + 1, 2), · · · , (p + 1, p + 1) sur la dernière ligne.

c. Soit

y = (−1) p+2 m 1 x 1 + · · · + (−1) 2p+1 m p x p + m p+1 x.

Montrer que y ∈ (Vect(x 1 , · · · , x p )) .

d. Montrer que m

p+1

1 y est la projection orthogonale de x sur Vect(x 1 , · · · , x p ) .

e. Montrer que

d(x, Vect(x 1 , · · · , x p )) = 1

|m p+1 | kyk

=

s det(G(x 1 , · · · , x p , x)) det(G(x 1 , · · · , x p )) .

9.

(Eee09)

Les cinq polyèdres réguliers en dimension

trois.

L'objectif de cet exercice n'est pas de construire ces po- lyèdres mais seulement de faire comprendre pourquoi il n'y en a que cinq.

Fig. 1 tétraèdre

Fig. 2 octaèdre

Fig. 3 icosaèdre Soit − → u , − → v , − → w trois vecteurs unitaires.

On note α l'écart angulaire entre − → v et − → w , β l'écart angulaire entre − → w et − → u , γ l'écart angulaire entre − → u et − → v .

On suppose ( − → u / − → w ) et ( − → v / − → w ) strictement positifs.

Soit p la projection orthogonale sur le plan orthogonal à − → w et θ l'écart angulaire entre p( − → u ) et p( − → v ) (faire un dessin).

a. i. Exprimer kp( − → u )k et kp( − → v )k à l'aide de α et β . ii. Trouver une formule reliant cos θ et cos γ et

faisant intervenir α et β .

iii. Montrer que α = β entraîne cos θ < cos γ puis

θ > γ .

(2)

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Fig. 4 dodécaèdre

Fig. 5 cube

b. Calculer l'angle entre deux côtés d'un polygone plan régulier à p côtés.

c. On note p le nombre de sommets par face d'un polyèdre régulier et q le nombre de faces autour d'un sommet. Le couple (p, q) est appelé le symbole de Schlai du polyèdre. On se propose de montrer que seuls 5 couples (p, q) sont possibles. En utilisant une projection bien choisie, montrer que

q(1 − 2

p )π < 2π En déduire

(p − 2)(q − 2) < 4

Former les 5 couples possibles et les associer aux gures proposées.

10.

(Eee10)

En utilisant un logiciel de calcul formel, calculer inf

Z 1 0

x 2 (e x − ax − b) 2 dx, (a, b) ∈ R 2

inf Z 1

0

(x 2 − ax − b) 2 dx, (a, b) ∈ R 2

inf Z 1

0

x 2 (ln x − ax − b) 2 dx, (a, b) ∈ R 2

11.

(Eee11)

Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormée B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Un sous- espace V est déni par : un vecteur de coordonnées (x, y, z, t) dans B appartient à V si et seulement si

( x + y + z + t = 0 x + 2y + 3z + 4t = 0

Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à V .

12.

(Eee12)

Soit E un espace euclidien de dimension 4

muni d'une base orthonormée B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Dé- terminer la projection orthogonale sur Vect(u, v) de (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) avec :

u = e 1 + e 2 + e 3 + e 4 v = 2e 1 + 3e 4

13.

(Eee13)

Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormée B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Former la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rap- port au plan engendré par les vecteurs de coordonnées (2, 2, −1, 1) et (2, 5, 0, 1) dans B .

14.

(Eee14)

Soit E un espace euclidien et x , y deux éléments de E . En considérant

kyk 2 x − (x/y)y

2

montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité.

15.

(Eee15)

a. Soit E un R-espace vectoriel muni d'une base (e 1 , e 2 , e 3 ) . On considère trois vecteurs

u = e 1 + 2e 2 + e 3 v = e 1 + e 3

w = −e 1 + e 2

Déterminer la matrice dans (e 1 , e 2 , e 3 ) d'un produit scalaire pour lequel (u, v, w) est orthonormée.

b. Généralisation. Soit A et B deux bases d'un R- espace vectoriel E de dimension n et P la matrice de passage de A dans B .

Quelle est la matrice dans A d'un produit scalaire pour lequel la base B est orthonormée ?

c. Exemple. Calculer la matrice comme dans la ques- tion précédente avec

b k =

k

X

i=1

(k − i + 1)a i

pour k entre 1 et n .

16.

(Eee16)

Soit u et v deux vecteurs d'un espace euclidien E . En exprimant (u/v) avec des normes, factoriser

kuk kvk − (u/v)

En déduire que l'inégalité triangulaire est équivalente à celle de Cauchy-Schwarz.

17.

(Eee17)

On veut montrer que, pour k entre 1 et un entier p > 1 xé, les fonctions

s k : (

R → R t 7→ sin(kt)

forment une famille libre dans l'espace C([0, π 2 ]) . a. Calculer Z π

0

sin(it) sin(jt) dt

En déduire que la famille des fonctions dénies dans [0, π] est libre.

b. Soit λ 1 , · · · , λ p des nombres complexes. Montrer que si la fonction

t → λ 1 sin t + λ 2 sin(2t) + · · · + λ p sin(pt)

s'annule strictement plus de 2p fois alors les λ i sont

tous nuls. Que peut-on en déduire relativement à

des restrictions des fonctions considérées ?

(3)

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18.

(Eee18)

Dans un espace euclidien, p est une projection telle que

∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk Montrer que p est une projection orthogonale.

19.

(Eee19)

Soit E euclidien, f ∈ L(E) et α > 0 . On considère les deux propriétés suivantes

∀x ∈ E, kf (x)k = αkxk

∀(x, y) ∈ E 2 , (f (x)/f(y)) = α 2 (x/y)

a. Montrer que les deux propriétés sont équivalentes.

On dit alors que f est une similitude de rapport α . b. Montrer qu'un endomorphisme non nul de E est une similitude si et seulement si il conserve l'ortho- gonalité.

20.

(Eee20)

On considère un R-espace vectoriel E de dimension p ≥ 3 muni d'une base E = (e 1 , · · · , e n ) et p nombres réels a 1 , · · · , a p−1 , c . À l'aide d'une matrice

S =

1 0 · · · · · · 0 a 1

0 1 ... ... a 2

... ... ... ... ... ...

... ... 1 0 a p−2

0 · · · · · · 0 1 a p−1 a 1 a 2 · · · a p−2 a p−1 c

on dénit une forme bilinéaire symétrique β sur E en posant :

∀(x, y) ∈ E 2 , β(x, y) = t Mat

E (x) S Mat

E (y) Montrer que β est un produit scalaire si et seulement si det S > 0 .

21.

(Eee21)

On considère un R-espace vectoriel E de dimen- sion 4 avec une base orthonormée E = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . L'hyperplan H est l`ensemble des vecteurs x dont les coordonnées (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) vérient

5x 1 − 2x 2 − 2x 3 + 4x 4 = 0

Former la matrice dans E de la symétrie orthonogonale (réexion) par rapport à H .

22.

(Eee22)

Soit E euclidien et U , V deux sous-espaces vecto- riels de E . Montrer que, pour tout a ∈ E , il existe un unique (x, u, v, y) tel que

a = x + u + v + y avec

 

 

 

 

x ∈ U ∩ V

u ∈ (U ∩ V ) ∩ U v ∈ (U ∩ V ) ∩ V y ∈ U ∩ V

23.

(Eee23)

Soit E un espace euclidien, (a, b) une famille libre de deux vecteurs, V = Vect(a, b) . On note

Φ :

 

 

E \ {0 E } → R x 7→ (x/a)(x/b)

kxk 2

, H = Φ(V \ {0 E }).

Pour λ ∈ R, on note aussi x λ = λa + b .

a. Préciser K ∈ R tel que

(x λ /a)(x λ /b) − (a/b) kx λ k 2 = K λ.

b. Une fonction ϕ est dénie dans R par : λ 7→ λ

kλa + bk 2 avec I = ϕ( R ).

Pourquoi I est-il un intervalle ? En étudiant ϕ , dé- terminer I .

c. Déterminer H en utilisant I .

d. À l'aide de la projection orthogonale sur V , mon- trer que Φ(x) ∈ H pour tout x non nul de E . En déduire l'inégalité de Richard

((a/b) − kakkbk)) kxk 2 ≤ 2(x/a)(x/b)

≤ ((a/b) + kakkbk)) kxk 2 . 24.

(Eee24)

Soit E = C 2 ([0, 1]) . On dénit

∀(f, g) ∈ E 2 , (f /g) = Z 1

0

(f (t)g(t) + f 0 (t)g 0 (t)) dt a. Montrer que (./.) est un produit scalaire.

b. Soit

F = {f ∈ E tq f (0) = f (1) = 0}

G = {g ∈ E tq g 00 = g}

Montrer que F et G sont supplémentaires orthogo- naux. Préciser la projection orthogonale sur G .

25.

(Eee25)

Dans R 3 euclidien canonique, on note E =

(e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique et w = 2e 1 + 3e 2 + e 3 = (2, 3, 1),

Π = (Vect w) , s = s Π , S = Mat

E s.

a. Donner une base (u, v) de Π . Pourquoi (u, v, w) est- elle une base de E ?

b. Écrire la matrice S 0 de s dans (u, v, w) . c. En déduire S .

26.

(Eee26)

Soit E pré-hilbertien et F , G deux sous-espaces de E . Montrer que

F ⊂ G E = F + G

)

( G = F F = G . 27.

(Eee27)

Soit E euclidien et f ∈ L(E) tel que

∀x ∈ E, (x/f(x)) = 0.

Montrer que ker f = Im f .

28.

(Eee28)

Montrer que, ∀(x 1 , · · · , x n ) ∈ R n , (x 1 + · · · + x n ) 2 ≤ n(x 2 1 + · · · + x 2 n ).

Cas d'égalité ?

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espaces vectoriels euclidiens - Espaces préhilbertiens réels : corrigés

1. Soit f une application qui n'est pas supposée linéaire mais qui conserve le produit scalaire. Pour tous vecteurs x et y , développons

kf (x + y) − f (x) − f (y)k 2

On obtient une somme de produits scalaires avec des f de chaque côté que l'on peut enlever par conservation du produit scalaire. Cela conduit au développement de

k(x + y) − x − yk 2 = 0 On montre de même que

kf (λx) − λxk 2 = 0

Une fois que l'on sait que f est linéaire, on montre qu'elle est injective en considérant la norme d'un vecteur du noyau puis qu'elle est bijective car un espace euclidien est de dimension nie.

2.

(Cee02)

On part de la formule (pour 3 vecteurs unitaires) ka + b + ck 2 = 3 + 2(a/b) + (a/c) + (b/c) Comme cos est décroissante dans [0, π] :

écart ang. δ > 2π

3 ⇒ cos δ < − 1 2

Si les trois écarts angulaires étaient plus grand que 3 , le carré scalaire serait négatif.

De même avec p vecteurs :

0 ≤

p

X

i=1

a i

2

= p + 2 X

i<j

(a i /a j )

≤ p + p(p − 1) max {(a i /a j ), i 6= j}

⇒ max {(a i /a j ), i 6= j} ≥ − 1 p − 1 3. pas de correction pour Eee03.tex

4.

(Cee04)

Une inégalité vient de

rg(P Q) ≤ min(rg(P), rg(Q))

Pour l'autre, on note r = rg(A) et on considère les co- lonnes

C i

1

, · · · , C i

r

formant une base de l'espace des colonnes de A . La ma- trice du produit scalaire canonique dans cet espace est inversible. Elle est extraite de t A A .

5. pas de correction pour Eee05.tex 6. pas de correction pour Eee06.tex 7. pas de correction pour Eee07.tex 8. pas de correction pour Eee08.tex 9. pas de correction pour Eee09.tex 10. pas de correction pour Eee10.tex

11.

(Cee11)

Comme V = Vect(u, v)

b

ot avec u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 2, 3, 4),

on commence par orthogonaliser la famille (u, v) en (u, v 0 ) avec

v 0 = v − 5 2 u = 1

2 (−3, −1, 1, 3) On utilise p V

pour exprimer la symétrie :

s V = Id

E −2p V

avec

p V

((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ))

= x 1 + x 2 + x 3 + x 4

4 (1, 1, 1, 1) + −3x 1 − x 2 + x 3 + 3x 4

20 (−3, −1, 1, 3) 12.

(Cee12)

On orthogonalise (u, v) en (u 0 , v 0 ) avec

v 0 = v − 5 4 u = 1

4 (3, −5, −5, 7) En notant V = Vect(u, v) ,

p V ((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4

4 (1, 1, 1, 1) + 3x 1 − 5x 2 − 5x 3 + 7x 4

108 (3, −5, −5, 7) 13.

(Cee13)

Notons u et v les deux vecteurs donnés et P le plan

qu'ils engendrent. Orthogonalisons la famille en (u, w) avec

w = v − (u/v)

kuk 2 u = v − 3 2 u Les coordonnées de w sont

1

2 (−2, 4, 3, −1) La symétrie demandée s'écrit

s P = p P − p P

= 2p P − Id E

avec

p P (x) = (x/u)

kuk 2 u + (x/v) kvk 2 v La colonne des coordonnées de p P (x) s'écrit

1

10 (2x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 )

 2 2

−1 1

+ 1

30 (−2x 1 + 4x 2 + 3x 3 − x 4 )

−2 4 3

−1

La matrice de p P est donc 1

30

16 4 −12 8

4 28 6 2

−12 6 12 −6

8 2 −6 4

(5)

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celle de s P :

1 15

1 4 12 8

4 13 6 2

−12 6 −3 −6

8 2 −6 −11

14.

(Cee14)

Développons la quantité que l'énoncé nous de- mande de considérer (vecteurs non nuls)

kyk 2 x − (x/y)y

2

= kyk 4 kxk 2 + (x/y) 2 kyk 2 − 2kyk 2 (x/y) 2

= kyk 2 (kykkxk − |(x/y)|) (kykkxk + |(x/y)|)

| {z }

>0

On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Dans le cas d'égalité, on retrouve bien que les vecteurs sont coli- néaires.

15.

(Cee15)

a. On utilise la formule de la question b. On obtient

P =

1 1 −1 2 0 1 1 1 0

 , P −1 =

1 2

1 2 − 1 2

1 21 2 3 2

−1 0 1

La matrice cherchée est

3 2

1

2 −2

1 2

1

2 −1

−2 −1 7 2

Remarque. Le code Maple suivant permet d'eec- tuer le calcul

with(LinearAlgebra):

P := Matrix([[1,1,-1],[2,0,1],[1,1,0]]);

Q :=P^(-1);

MatrixMatrixMultiply(Transpose(Q),Q);

b. D'après les formules (de cours) de changement de base pour la matrice d'un produit scalaire :

Mat B (/) = t P BB Mat

B (/)

=I

n

P BB = t P −1 P −1

c. On peut exprimer assez facilement a 1 , a 2 , a 3 en fonction des b i puis vérier la formule

b k−1 − 2b k + b k+1 = a k+1

pour k entre 2 et n − 1 . On en déduit la matrice de passage

P −1 =

1 −2 1 0 · · · 0

0 1 −2 1 ...

0 1 −2 ... 0

... ... ... ... 1 ... ... −2

0 · · · 0 1

puis la matrice cherchée qui est une matrice bande de largeur 4

1 −2 1 0 0 · · · 0

−2 5 −4 1 0 ...

1 −4 6 −4 1 ... 0

0 1 −4 6 ... 0

0 ... ... ... ... 1

... ... ... 1 −4 6 −4 0 · · · 0 0 1 −4 6

16.

(Cee16)

(u/v) = 1

2 ku + vk 2 − kuk 2 − kvk 2

⇒ kuk kvk − (u/v) = 1

2 (kuk + kvk) 2 − ku + vk 2

= (kuk + kvk + ku + vk)

| {z }

≥0

(kuk + kvk − ku + vk)

On en déduit l'équivalence demandée.

17.

(Cee17)

a. Il s'agit d'un calcul classique à savoir faire très ra- pidement. En linéarisant, on trouve que l'intégrale est nulle pour i 6= j et égale à π 2 si i = j . On en dé- duit que la famille est orthogonale pour le produit scalaire habituel dénie par l'intégrale du produit.

Comme elle est constituée de fonctions non nulle, cette famille est libre.

b. Écrivons chaque sin avec une exponentielle.

sin(kt) = 1

2i (e it ) k − (e it ) −k

En factorisant par e ikt , on peut écrire la somme de sin sous la forme

e ikt P (e it )

où P est un polynôme à coecients complexes (et s'exprimant simplement en fonction des λ k ) de de- gré 2p . Lorsque ce polynôme admet strictement plus de 2p racines, tous ses coecients sont nuls donc les λ k sont tous nuls.

On en déduit que la famille des restrictions à un intervalle non réduit à un point est libre. En eet un tel intervalle contient une innité de points.

18.

(Cee18)

On va montrer que, si p n'est pas orthogonale, il existe un vecteur strictement plus long que l'un de ses antécédents par projection.

En eet Im p ⊂ ker(p) est alors faux sinon on aurait l'égalité. Il existe b ∈ Im(p) qui n'est pas orthogonal à ker(p) donc il existe a ∈ ker(p) tel que (a/b) 6= 0 . Pour tous les réels λ , les vecteurs b λ = b + λa sont des antécédents de b pour la projection. Quel est le plus court ? Aura-t-on la malchance que ce soit b 0 = b ? Une équivalence locale en 0 prouve que non :

kb λ k 2 − kbk 2 ∼ 2(a/b)λ

(6)

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Il existe donc bien des λ réels proches de 0 tels que kb λ k < kbk = kp(b λ )k

19.

(Cee19)

a. Un sens est évident par spécialisation, l'autre est facile par linéarité en utilisant les identités de po- larisation.

b. Il est évident qu'une similitude conserve l'orthogo- nalité d'après la deuxième propriété.

Considérons un f ∈ L(E) qui conserve l'orthogo- nalité.

Pour tous x et y dans E avec x 6= 0 , on a alors : (f (x)/f(y)) = kf (x)k 2

kxk 2 (x/y)

Il sut pour cela d'orthogonaliser (x, y) en (x, y 0 ) et d'écrire que f (x) et f (y) sont orthogonaux.

Il reste à montrer que tous les α x = kf (x)k 2

kxk 2

sont égaux entre eux pour tous les x non nuls.

En échangeant les rôles de x et de y , on obtient α x = α y pour x et y non nuls et non orthogonaux.

Lorsque x et y sont orthogonaux, on peut toujours trouver un z non nul et qui n'est orthogonal à aucun des deux. On en déduit l'égalité par transitivité.

20.

(Cee20)

Le déterminant de S se calcule facilement avec la méthode du pivot standard. On se ramène à une matrice triangulaire supérieur avec des 1 sur la diagonale sauf pour le terme p, p . On obtient

det S = c − a 2 1 − a 2 2 − · · · − a 2 p−1

Il reste à vérier que β(x, x) ≥ 0 et que β (x, x) = 0 en- traine x = 0 pour tout vecteur x de E .

Considérons donc un vecteur x quelconque de coordon- nées (x−1, · · · , x p ) . On calcule en utilisant d'abord l'ex- pression matricielle puis en faisant apparaitre des carrés

β(x, x)

= x 1 · · · x p

x 1 + a 1 x p

x 2 + a 2 x p

...

x p−1 + a p−1 x p

a 1 x 1 + · · · + a p−1 x p−1 + cx p

= x 2 1 + · · · + x 2 p−1 + cx 2 p + 2 (a 1 x 1 + · · · + a p−1 x p−1 ) x p

= (x 1 + a 1 x p ) 2 − a 2 1 x 2 p + · · · + (x p−1 + a p−1 x p ) 2 − a 2 p−1 x 2 p

+ cx 2 p

= (x 1 + a 1 x p ) 2 + · · · + (x p−1 + a p−1 x p ) 2 + (det S)x 2 p On en déduit les propriétés demandées.

21.

(Cee21)

Sur l'équation de H , on lit les coordonnées d'un vecteur u orthogonal à H :

u = 5e 1 − 2e 2 − 2e 3 + 4e 4

Soit U = Vect(u) = H . La symétrie s H par rapport à H s'exprime en fonction de la projection p U sur U

s H = p H − p U = Id E − 2p U On connait l'expression vectorielle de P U :

p U (x) = (x/u) kuk 2 u soit pour la matrice des coordonnées :

1

49 (5x 1 − 2x 2 − 2x 3 + 4x 4 )

 5

−2

−2 4

On en déduit la matrice de p U :

1 49

25 −10 −10 20

−10 4 4 −8

−10 4 4 −8

20 −8 −8 16

puis celle de s U

1 49

−1 20 20 −40

20 41 −8 16

20 −8 41 16

−40 16 16 17

22.

(Cee22)

Soit U et V deux sous-espaces de E euclidien. On veut montrer que, pour tout a ∈ E , il existe des uniques vecteurs

x ∈ U ∩ V, u ∈ (U ∩ V ) ∩ U, v ∈ (U ∩ V ) ∩ V, y ∈ U ∩ V tels que x = x + u + v + y .

Existence. Décomposons a en utilisant la formule du cours pour l'orthogonal d'une somme :

a = p U

∩V

(a)

| {z }

=y

+ p U+V (a)

| {z }

=b

On peut encore décomposer b (sans unicité). Il existe u 0 ∈ U et v 0 ∈ V tels que b = u 0 + v 0 .

Comme U ∩ V est un sous-espace de U et de V , posons u = p (U∩V )

∩ U (u 0 ) ∈ (U ∩ V ) ∩ U,

v = p (U∩V )

V (v 0 ) ∈ (U ∩ V ) ∩ V Alors :

u 0 = u + w u avec w u ∈ U ∩ V v 0 = v + w v avec w v ∈ U ∩ V

)

⇒ b = u + v + (w u + w v )

| {z }

=x∈U∩V

Unicité.

a = x + u + v

| {z }

∈U+V =(U

∩V

)

+ y

|{z}

∈U

∩V

⇒ y = p U

∩V

(a)

(7)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espaces vectoriels euclidiens - Espaces préhilbertiens réels : corrigés

a = x

|{z}

∈U∩V

+ u + v + y

| {z }

∈U

+V

=(U∩V )

⇒ x = p U ∩V (a)

Ceci assure l'unicité du x et du y . d'autre part, x + u + v + y = x + u 0 + v 0 + y ⇒ u + v = u 0 + v 0

⇒ u − u 0 = v 0 − v ∈ (U ∩ V ) ∩ (U ∩ V ) = {0 e } 23.

(Cee23)

a. En développant, on trouve

(x λ /a)(x λ /b) − (a/b) kx λ k 2 = Kλ

avec K = kak 2 kbk 2 − (a/b) 2 b. La fonction est rationnelle :

ϕ(λ) = λ

kak 2 λ 2 + 2(a/b)λ + kbk 2

et son dénominateur ne s'annule pas. Elle est donc continue ce qui entraine que I = ϕ( R ) est un inter- valle d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

Elle change de signe en 0 et converge vers 0 en + et

−∞ . Le calcul de la dérivée montre qu'elle admet ses extréma absolus pour

λ = ± kbk kak les valeurs étant

M = kakkbk

kkbka + kakbk 2 = 1

2 ((a/b) + kakkbk) m = − ka|kbk

kkbka − kakbk 2 = 1

2 ((a/b) − kakkbk) ce qui entraine I = [m, M ] .

c. En fait H est l'image d'une partie de V car Φ(λa + µb) = Φ( λ

µ a + b).

On peut donc se limiter aux Φ(x λ ) et, d'après a., Φ(x λ ) = (a/b) + Kϕ(λ).

On en tire

H = [(a/b) + Km, (a/b) + KM ] .

d. D'après la question précédente, H est un intervalle.

En considérant un vecteur orthogonal à a ou b dans V , on montre que 0 ∈ H . De plus

∀x ∈ E, Φ(x) = kp(x)k 2 kxk 2

| {z }

∈[0,1]

Φ(p(x))

| {z }

∈H

∈ H

car H est un intervalle qui contient 0 . En calculant, on trouve

(a/b) + Km = 1

2 ((a/b) − kakkak) (a/b) + KM = 1

2 ((a/b) + kakkak)

L'inégalité de Richard est équivalente à Φ(x) ∈ H .

24. pas de correction pour Eee24.tex 25.

(Cee25)

a. L'énoncé n'impose rien à u et v sauf d'être ortho- gonaux à w . Choisissons

u = e 1 − 2e 3 = (1, 0, −2) v = e 2 − 3e 3 = (0, 1, 3)

La famille (u, v) est libre et ses deux vecteurs sont orthogonaux à w donc la famille (u, v, w) est libre, c'est une base de E .

b. Par dénition de s , s(u) = u , s(v) = v , s(w) = −w . On en déduit

S 0 =

1 0 0 0 1 0 0 0 −1

c. On en déduit par changement de base

S = P S 0 P −1 avec P =

1 0 2

0 1 3

−2 −3 1

après calculs

P −1 = 1 4

8 −6 2

6 −5 3

−2 3 −1

 ,

S = 1 7

3 6 −2

−6 −2 −3

−2 −3 6

26.

(Cee26)

Pour tout x ∈ G , il existe (f, g) ∈ F ×G tels que x = f + g . Alors :

(g/g) = (g/x − f ) = ( g

∈G

/ x

∈G

) − ( g

∈G

/ f

∈F⊂G

) = 0 donc G ⊂ F . On sait que G ⊂ G ⊥⊥ . D'autre part,

F ⊂ G ⇒ G ⊥⊥ ⊂ F ⇒ G ⊂ F .

On termine comme plus haut. Pour tout x ∈ F , il existe (f, g) ∈ F × G tels que x = f = g . Alors

(f /f) = (f /x − g) = ( f

∈F

/ x

∈F

) − ( f

∈F

/ g

∈G⊂F

) = 0.

Donc F ⊂ G . 27.

(Cee27)

∀x ∈ ker f, ∀y ∈ E, 0 = (x + y/f(x)

=0

+ f (y)) = (x/f (y)) + (y/f(y)

| {z }

=0

⇒ ker f ⊂ (Im f ) . On conclut avec l'égalité des dimensions.

28.

(Cee28)

Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le pro- duit scalaire canonique de R n avec

(x 1 , · · · , x n ) et (1, · · · , 1).

Égalité si et seulement si les x i sont égaux entre eux.

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