(x)| ≤ 1. Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

(1)

Théorème de sélection de Helly

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 2, page 164 Exercice :

1. Soit E ⊂ R dénombrable et (f

n

) une suite de fonctions de E dans R telle que pour tout n et tout x de E, |f

n

(x)| ≤ 1. Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

n

) qui converge simplement vers une fonction f : E → R.

2. Soit (f

_n

) une suite de fonctions croissantes de R dans [−1, 1] . Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

n

) qui converge simplement vers une fonction f : R → [−1, 1] .

1. On applique le procédé diagonal de Cantor : notons (r

p

)

p∈N

les éléments de E. Par hypothèse, la suite (f

n

(r

0

))

_n≥0

est bornée. On peut donc en extraire une sous-suite convergente ¡

f

ϕ0(n)

(r

0

) ¢

n≥0

. De la suite bornée ¡

f

_ϕ₀_(n)

(r

1

) ¢

n≥0

, on peut donc également extraire une sous-suite convergente

¡ f

_ϕ₀_◦ϕ₁_(n)

(r

1

) ¢

n≥0

. Bien entendu la suite ¡

f

_ϕ₀_◦ϕ₁_(n)

(r

0

) ¢

n≥0

converge toujours. On itère ce procédé.

On construit donc une suite (ϕ

p

)

p≥0

de fonctions strictement croissantes de N dans N telle que pour tout entier p, et tout k ∈ {0, . . . , p}, la suite

f

ϕ0◦ϕ1◦...◦ϕp(n)

(r

k

) converge.

Si on pose alors g

n

= f

ϕ0◦ϕ1◦...◦ϕp(n)

, la suite (g

n

(r

k

)) converge pour tout k. C'est le résultat demandé.

2. On applique le résultat précédent en prenant pour E l'ensemble des nombres rationnels. On peut supposer que notre suite (f

n

) converge simplement sur Q vers une fonction f : Q → R . Cette fonction est croissante sur Q . Soit x un nombre réel. Supposons que f admette la même limite l à gauche et à droite en x . Soit ε > 0 . Il existe donc η > 0 tel que pour t ∈ [x − η, x + η] ( t rationnel),

|f (t) − l| ≤ ε . On choisit deux rationnels α et β tels que α ∈ [x − η, x] et β ∈ [x, x + η] . On a pour tout entier n, f

n

(α) ≤ f

n

(x) ≤ f

n

(β). Pour n assez grand, f

n

(β) ≤ f (β) + ε et f

n

(α) ≥ f (α) − ε.

Il en résulte que pour n assez grand,

l − 2ε ≤ f (α) − ε ≤ f

n

(x) ≤ f (β) + ε ≤ l + 2ε Ainsi, la suite (f

n

(x))

n≥0

converge vers l.

L'ensemble D des points x tels que lim

x⁻

f < lim

x⁺

f est au plus dénombrable : en eet, pour chaque x ∈ D , on peut choisir un rationnel q

x

compris entre lim

x⁻

f et lim

x⁺

f . L'application x ∈ D 7→ q

x

est clairement injective puisque f est croissante. Il s'ensuit donc que D est dénombrable. On peut donc, par une nouvelle application de la question 1 extraire de la suite (f

n

(x)| ≤ 1. Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

Théorème de sélection de Helly

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 2, page 164 Exercice :

1. Soit E ⊂ R dénombrable et (f

) une suite de fonctions de E dans R telle que pour tout n et tout x de E, |f

(x)| ≤ 1. Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

) qui converge simplement vers une fonction f : E → R.

2. Soit (f

) une suite de fonctions croissantes de R dans [−1, 1] . Montrer qu'il existe une sous-suite de (f

) qui converge simplement vers une fonction f : R → [−1, 1] .

1. On applique le procédé diagonal de Cantor : notons (r

)

les éléments de E. Par hypothèse, la suite (f

(r

))

est bornée. On peut donc en extraire une sous-suite convergente ¡

f

(r

) ¢

. De la suite bornée ¡

f

(r

) ¢

, on peut donc également extraire une sous-suite convergente

¡ f

(r

) ¢

. Bien entendu la suite ¡

f

(r

) ¢

converge toujours. On itère ce procédé.

On construit donc une suite (ϕ

)

de fonctions strictement croissantes de N dans N telle que pour tout entier p, et tout k ∈ {0, . . . , p}, la suite

f

(r

) converge.

Si on pose alors g

= f

, la suite (g

(r

)) converge pour tout k. C'est le résultat demandé.

2. On applique le résultat précédent en prenant pour E l'ensemble des nombres rationnels. On peut supposer que notre suite (f

) converge simplement sur Q vers une fonction f : Q → R . Cette fonction est croissante sur Q . Soit x un nombre réel. Supposons que f admette la même limite l à gauche et à droite en x . Soit ε > 0 . Il existe donc η > 0 tel que pour t ∈ [x − η, x + η] ( t rationnel),

|f (t) − l| ≤ ε . On choisit deux rationnels α et β tels que α ∈ [x − η, x] et β ∈ [x, x + η] . On a pour tout entier n, f

(α) ≤ f

(x) ≤ f

(β). Pour n assez grand, f

(β) ≤ f (β) + ε et f

(α) ≥ f (α) − ε.

Il en résulte que pour n assez grand,

l − 2ε ≤ f (α) − ε ≤ f

(x) ≤ f (β) + ε ≤ l + 2ε Ainsi, la suite (f

(x))

converge vers l.

L'ensemble D des points x tels que lim

f < lim

f est au plus dénombrable : en eet, pour chaque x ∈ D , on peut choisir un rationnel q

compris entre lim

f et lim

f . L'application x ∈ D 7→ q

est clairement injective puisque f est croissante. Il s'ensuit donc que D est dénombrable. On peut donc, par une nouvelle application de la question 1 extraire de la suite (f

) une sous-suite qui converge simplement sur D . Bien entendu cette sous-suite converge encore sur R\D .

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