I.A.1) Montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes vérifiant puis pour tout entier ,

MATHÉMATIQUES I Filière PC

Concours Centrale-Supélec 1999 Partie I - Nombres de Bernoulli

Les polynômes que l’on considère sont à coefficients réels. On identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée.

I.A - Suite des polynômes de Bernoulli

I.A.1) Montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes vérifiant puis pour tout entier ,

et .

I.A.2) Montrer que chaque est un polynôme unitaire de degré . Déter- miner , , .

I.A.3) On définit pour tout et pour tout , .

Montrer que, pour tout entier naturel , . I.B - Nombres de Bernoulli

On pose, pour tout , .

I.B.1) Montrer que

, ,

et pour tout , .

I.B.2) Montrer que, pour tout entier , .

Partie II - Fonction génératrice des polynômes de Bernoulli II.A - Montrer que la fonction définie sur par :

admet un prolongement de classe sur . (On pourra considérer la fonction ). En déduire que la fonction définie sur par :

si et

est de classe sur pour tout entier . II.B -

II.B.1) Déterminer, pour réel fixé, le développement limité à l’ordre en

de : .

B _n ( ) _{n ∈ IN}

B ₀ = 1 n ≥ 1

B' _n = nB _{n – 1} B _n ( ) t d t

0

∫ 1 ^{= 0}

B _n n

B ₁ B ₂ B ₃

n ∈ IN t ∈ IR C _n ( ) t = ( ) – 1 ⁿ B _n ( 1 – t ) n C _n = B _n

n ∈ IN b _n = B _n ( ) 0

B ₀ ( ) 1 = B ₀ ( ) 0 = 1 B ₁ ( ) 1 – B ₁ ( ) 0 1 2 --

= =

n ≥ 2 B _n ( ) 1 = B _n ( ) 0

p ≥ 1 b _{2 p + 1} = 0

u IR∗

x a u x ( ) x e ^x – 1 ---

=

C ^∞ IR

1 ⁄ u φ IR ²

φ ( x t , ) xe ^tx e ^x – 1 ---

= x ≠ 0

φ ( 0 , t ) = 1

C ^k IR ² k ≥ 0

t 3 0

x a φ ( x t , )

MATHÉMATIQUES I Filière PC

Concours Centrale-Supélec 1999 II.B.2) Expliciter

en fonction de , puis montrer pour que .

II.B.3) La fonction est définie pour tout réel par :

c’est-à-dire .

Vérifier que , puis pour tout entier , que et .

(Pour le calcul de on pourra déterminer ).

En déduire que la fonction est polynomiale et que, pour tout , . II.B.4) Déterminer de deux manières, pour entier supérieur à et réel fixé, le développement limité à l’ordre en de :

. En déduire :

.

II.C - Donner une relation permettant de calculer les nombres de Bernoulli . Écrire un algorithme permettant d’obtenir la valeur de , puis donner la valeur (exacte ou approchée) de .

Partie III - Formule d’Euler Mac-Laurin

III.A - Dans cette question, est une fonction de dans de classe où est un entier supérieur à . On pose pour tout entier compris entre et :

où désigne la dérivée -ième de .

III.A.1) Exprimer en fonction de , puis pour tout entier , en fonc- tion de .

∂ ∂ t φ ( x t , )

φ ( x t , ) n ≥ 1

∂ ∂ t x ⁿ

n

∂ ∂ φ ( x t , ) x x ⁿ

n

∂ ∂ φ ( x t , ) n x ^{n – 1}

n – 1

∂ ∂ φ ( x t , ) +

=

a _n t

a _n ( ) t ∂ ⁿ φ

∂ x ⁿ --- ( 0 , t )

= a _n ( ) t

x ⁿ

n

∂

∂ φ ( x t , )

x = 0

=

a ₀ = 1 n ≥ 1 a _n ′ = na _{n – 1}

a _n ( ) t d t

0

∫ 1 ^{= 0}

a _n ( ) t d t

0

∫ 1 0 ^{φ ( x t , ) d t}

∫ 1

a _n n ∈ IN a _n = B _n

n 1 t

n 0

x e ^x – 1 --- x a φ ( x t , )

B _n ( ) t t ⁿ 1 n + 1

--- C _n ^k _{+ 1} B _k ( ) t

k = 0 n – 1

∑

–

=

b _n b _2n ( n ≥ 1 )

b ₁₀

f [ 0 1 , ] IR C ^{2 p}

p 1 k 0 p

R _k f ^{( ) 2k} ( )B t _2k ( ) t ( ) 2k ! --- d t

0

∫ 1

=

f ^{( ) 2k} 2k f

R ₀ R ₁ k ≥ 1 R _k

R _{k + 1}

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Concours Centrale-Supélec 1999 III.A.2) En déduire :

.

III.B - Dans cette question, et sont deux réels tels que , est une fonc- tion de dans de classe où est un entier supérieur à , est un entier naturel supérieur où égal à . On pose

et l’on considère la subdivision de l’intervalle définie par : , . Pour tout réel on considère où dési- gne la partie entière du réel .

III.B.1) Montrer que

. III.B.2) Montrer que

est égale à l’expression suivante :

, où est défini par :

.

C’est la formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin.

Partie IV - Application

est un réel donné, . On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de :

.

( nombre complexe de carré ).

IV.A - À l’aide de la fonction : , exprimer en fonction de f t ( ) d t

0

∫ 1 --- ^{f ( ) 0 +} 2 ^{f ( ) 1} b _{2 j} 2 j

( )! --- [ f ^{( 2 j – 1 )} ( ) 1 – f ^{( 2 j – 1 )} ( ) 0 ] + R _p

j = 1

∑ p

–

=

a b a < b g

a b ,

[ ] IR C ^{2 p} p 1 n

1 h b – a

--- n

=

a _k

( ) _{0 ≤ ≤ k n} [ a b , ]

a _k = a + kh 0 ≤ ≤ k n x 〈 〉 x = x – E x ( ) E x ( ) x

g ^{( 2 p )} ( ) u B _{2 p} u – a --- h

〈 〉

 

  d u

a

∫ b ^{g ( 2 p ) ( ) u B 2 p}   ^u --- ^– h ^{a k}   d u

a

a

k = 0 ∫

n – 1

∑

=

g t ( ) d t

a

∫ b

h g a ( )

--- 2 g a ( + kh ) g b ( )

--- 2 +

k = 1 n – 1

∑

+ b _{2 j}

2 j ( ) !

---h ^{2 j} [ g ^{( 2 j – 1 )} ( ) b – g ^{( 2 j – 1 )} ( ) a ] + r _{p n ,}

j = 1

∑ p

–

r _{p n ,}

r _{p n ,} h ^{2 p} 2 p ( )!

--- g ^{( 2 p )} ( )B u _{2 p} u – a --- h

〈 〉

 

  d u

a

∫ b

=

α α ∈ ] 0,1 [

S _n e ^ik

k = 1

∑ n

=

i – 1

g t a e ^it

S _n g t ( ) d t

1 n + 1

∫

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Concours Centrale-Supélec 1999 et de dérivées successives de la fonction .

IV.B -

IV.B.1) Montrer que, lorsque , l’intégrale

est équivalente à . On pourra utiliser la technique d’intégration par parties.

IV.B.2) En déduire un équivalent de .

IV.C - Montrer que, pour tout entier naturel ,

( désigne la relation de domination lorsque ).

IV.D -

IV.D.1) Déterminer un entier naturel tel que la suite

soit bornée ; on pourra poser .

IV.D.2) En déduire un équivalent de quand tend vers l’infini.

••• FIN •••

g

n → ∞

I _n e ^ix x

1 α --- – 1

 

 

x d

1 n

∫

=

ie ⁱⁿ

n ^{( 1 – α )} –

e ^it

d t

1

∫ n

j ≥ 1 g ^{( ) j} ( ) n = O ( n ^{j ( α – 1 )} )

O n → ∞

p g ^{( 2 p )} ( )B t _{2 p} ( 〈 t – 1 〉 ) d t

1 n + 1

∫

 

 

n ∈ IN

M _{2 p} = sup ( B _{2 p} ( ) t , 0 ≤ ≤ t 1 )

S _n n