On considère la suite (un) définie pour tout entier natureln par : un= e−vn+ 1 Pour chacune des 4 propositions, une seule est exacte laquelle ? 1

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TS Correction QCM ln et suites 2013-2014

Soit (vⁿ)ⁿ> une suite. On considère la suite (uⁿ) définie pour tout entier natureln par : un= e^−vⁿ+ 1

Pour chacune des 4 propositions, une seule est exacte laquelle ? 1. sia >0 etv₀= ln(a)

⊲ u0= ln(a) + 1 ;

⊲ u0=−a+ 1 ;

⊲ u0= 1 a+ 1 ;

u0= e^−v⁰+ 1 = e⁻^ln(^a⁾+ 1 = 1

e^ln(a) + 1 = 1 a+ 1.

⊲ u0= e^−a+ 1 ;

2. si (vⁿ) est strictement croissante alors :

⊲ (uⁿ) est strictement décroissante et majorée par 2 ;

⊲ (uⁿ) est strictement croissante et minorée par 1 ;

⊲ (un) est strictement croissante et majorée par 2 ;

⊲ (un) est strictement décroissante et minorée par 1 ;

(vn) est strictement croissante doncvn < vn+1et−vn >−vn+1, on applique l’exponentielle qui est strictement croissante sur R donc e^−vⁿ > e^−vⁿ⁺¹ ⇔ e^−vⁿ+ 1 > e^−vⁿ⁺¹+ 1 ⇔ un > un+1 donc (un) est strictement décroissante. De plus comme e^−vⁿ>0⇒un>1 et (un) est minorée par 1.

3. si (vn) diverge vers +∞, alors :

⊲ (un) converge vers 2 ;

⊲ (uⁿ) diverge vers +∞;

⊲ (uⁿ) converge vers 1 ;

Les règles opératoires sur les limites conduisent à écrire queun −→

n→+∞1 (vⁿ −→

n→+∞+∞ ⇒e^−vⁿ −→

n→+∞0).

⊲ (un) converge versLtel queL >1.

4. (vn) est majorée par 2, alors :

⊲ (un) est majorée par 1 + e⁻²;

⊲ (uⁿ) est minorée par 1 + e⁻² ;

(vn) est majorée par 2 donc ∀n∈N, vn 62 donc−vn >−2, on applique l’exponentielle qui est strictement croissante surRdonc e^−vⁿ >e⁻²⇔e^−vⁿ+ 1>1 + e⁻²⇔(un) est minorée par 1+e⁻².

⊲ (un) est minorée par 1 + e²;

⊲ (un) est majorée par 1 + e²;

5. Démonter que, pour tout entier natureln, on a ln(un) +vn>0.

ln(e^−vⁿ+ 1) +vn= ln

1 + e^vⁿ e^vⁿ

+vn= ln(1 + e^vⁿ)−ln(e^vⁿ) +vn= ln(1 + e^vⁿ)>0 car 1 + e^vⁿ>1

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