Université Bordeaux 1 MHT812 – Master
Mathématiques Année 2009–2010
FEUILLE D’EXERCICES no5
Exercice 1 – [Toom-Cook]
On se penche ici sur une généralisation du principe mis en œuvre dans l’algorithme de Karatsuba. L’idée de Karatsuba est de ramener le calcul d’un produit de deux polyômes de degrés < n= 2N à celui de 3 produits de polyômes de degrés < N. Mais si au lieu de couper en 2 on coupait en 3, voire en k, qu’obtiendrait-on ? Commençons d’abord par le cas d’une double césure et supposons que nous dé- sirons multiplier deux polynômes P et Q de degrés < n = 3N. Décomposons les sous la forme
P = P2X2N +P1XN +P0 Q = Q2X2N +Q1XN +Q0
où les Pi et les Qi sont des polynômes de degrés< N. Soit Π le produit de P et Q et posons
Π0 = P0Q0
Π1 = (P2+P1+P0)(Q2+Q1+Q0) Π−1 = P2−P1+P0
Q2−Q1+Q0 Π2 = 4P2+ 2P1+P0
4Q2+ 2Q1+Q0 Π∞ = P2Q2
1) Montrer quil existe 5 polynômes de degrés < 2N −1 notés Ri (0 6 i 6 4) vérifiant
Π =
4
P
i=0
RiXiN Πα =
4
P
i=0
Riαi siα ∈ {0,1,−1,2}
Π∞ = R4
2) Exprimer les Ri (06i64) en fonction des Πα (α∈ {0,1,−1,2,∞}).
3) En déduire que le calcul de Π peut se ramener à celui de 5 produits de 2 polynômes de degrés < N.
4) Estimer la complexité algébrique (en terme de nombre de multiplications en fonction de n) de l’algorithme obtenu en appliquant cette procédure (on pourra supposer pour commencer quenest une puissance de 3) et comparer à Karatsuba.
5)Voir en quoi l’idée est la même que dans Karatsuba (évaluation-interpolation) et généraliser.
Exercice 2 – [Inversion p-adique par Newton]
Rappelons que la philosophie de la méthode de Newton est la suivante : pour résoudre une équationf(x) = 0, on part d’un élémentx0 arbitraire et on construit la suite (xn)n>0 à l’aide de la relation de récurrence
xn+1 =xn− f(xn) f0(xn).
Sous certaines conditions, la suite (xn)n>0 converge vers une solution de l’équa- tion. Le contexte initial de cette procédure est analytique mais celle-ci peut s’adapter à un contexte algébrique. En cours, par exemple, a été abordée l’in- version des polynômes modulo xk. Nous allons ici étudier une autre application de ce principe au contexte algébrique.
Soient p, l deux entiers naturels non nuls et soient f, g0 ∈ Z vérifiant f g0 ≡ 1 mod p. En particulierf est inversible modulo p. Le but est de construire à partir de g0 un élément g ∈Z vérifiant f g≡1 mod pl.
1) Montrer que l’idée newtonienne conduit à considérer la suite (gi) définie par la donnée de g0 et la relation de récurrence
gi+1 = 2gi−f gi2 mod p2i+1.
2) Montrer que pour tout i on a f gi ≡1 mod p2i et que si r = dlogl/log 2e, le nombre gr répond au problème.
3) Détailler les différentes étapes de l’algorithme trouvé. Estimer sa complexité algébrique et sa complexité binaire.
