2.11 1) u1 =√ 2 =√2
21 u2 =√
2u1 =p 2√
2 = p
21·212 =p
21+12 =p 232
= 232
1
2 = 232·12 = 234 =√4 23 u3 =√
2u2 =p 2√4
23 =p
21·234 =p
21+34 =p 274
= 27412
= 274·12 = 278 =√8 27 u4 =√
2u3 =p 2√8
27 =p
21·278 =p
21+78 =p 2158
= 2158 12
= 2158·12 = 21516 = 16√ 215
2) (a) La suite (un)n∈N est croissante.
Initialisation : u2 u1 =
√4
23
√2
21 = 234
212 = 234−12 = 214 =√4 2>1.
Puisque u1 =√
2>0, l’inégalité u2 u1
>1 implique u2 > u1. Hérédité : Supposons que un< un+1 pour un certain n∈N.
Cette hypothèse de récurrence implique : un < un+1
2un<2un+1
√2un<√ 2un+1
un+1 < un+2
On a ainsi démontré que la suite (un)n∈N est croissante.
(b) La suite (un)n∈N est majorée par2.
Initialisation : l’inégalité u1 =√
262 est évidente.
Hérédité : Supposons que un62 pour un certain n ∈N. De cette hypothèse de récurrence, on tire que :
un 62 2un64
√2un6√ 4 un+1 62
Analyse : suites réelles Corrigé 2.11
