6.6 1) (a) Posons ε=r−c >0.
Par définition de la limite d’une suite, il existe p ∈ N (n0 si l’on préfère) tel que pour tout k >p on ait
uk+1
uk −c
< ε. En d’autres termes, uk+1
uk < c+ε=c+ (r−c) =r. (b) L’inégalité uk+1
uk < r pour toutk >p implique up+1
up
< r c’est-à-dire up+1< upr up+2
up+1
< r c’est-à-dire up+2< up+1r < upr2 up+3
up+2
< r c’est-à-dire up+3< up+2r < upr3 . . .
up+n up+n−1
< r c’est-à-dire up+n< up+n−1r < uprn
En d’autres termes, à partir du rangp, la série de termeukest majorée par la série géométrique de premier terme up et de raisonr.
(c) Puisque 0 < r < 1, la série géométrique de premier terme up et de raisonr converge.
Les critères de comparaison permettent de conclure que la série de termeuk converge.
2) (a) Posons ε=c−r >0.
Par définition de la limite d’une suite, il existe p ∈ N (n0 si l’on préfère) tel que pour toutk >p on ait
uk+1
uk
−c
< ε. En d’autres termes, uk+1
uk > c−ε =c−(c−r) =r. (b) L’inégalité uk+1
uk > r pour toutk >p implique up+1
up
> r c’est-à-dire up+1> upr up+2
up+1
> r c’est-à-dire up+2> up+1r > upr2 up+3
up+2
> r c’est-à-dire up+3> up+2r > upr3 . . .
up+n up+n−1
> r c’est-à-dire up+n> up+n−1r > uprn
En d’autres termes, à partir du rangp, la série de termeukest minorée par la série géométrique de premier terme up et de raisonr.
(c) Puisquer >1, la série géométrique de premier termeupet de raisonr diverge.
Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.6
Les critères de comparaison permettent de conclure que la série de termeuk diverge.
3) (a) Soit uk= k k+ 1 .
k→lim+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
k+ 1 k+ 2
k k+ 1
= lim
k→+∞
(k+ 1)2
k(k+ 2) = lim
k→+∞
k2+ 2k+ 1 k2+ 2k
= lim
k→+∞
k2 k2 = 1
La série de termeukdiverge, car lim
k→+∞uk = lim
k→+∞
k
k+ 1 = lim
k→+∞
k k = 16= 0.
(b) Soit uk= 1 k(k+ 1).
k→+∞lim uk+1
uk = lim
k→+∞
1
(k+ 1) (k+ 2) 1
k(k+ 1)
= lim
k→+∞
k
k+ 2 = lim
k→+∞
k k = 1
L’inégalité 1
k(k+ 1) < 1
k2 et les critères de comparaison entraînent la convergence de la série de terme uk.
Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.6
