r = √12 <1, la hauteur de la pile de cubes vaut : lim n

4.25 Désignons par a_n la longueur (en m) des arêtes du cube n.

Puisque les arêtes du premier cube mesurent 1 m, on sait que a₁ = 1.

a

n+ 1

1 2a_n

1 2an

Le théorème de Pythagore donne (a_n+1)² = (¹₂a_n)²+ (¹₂a_n)²

a²_n+1 = ¹₄a²

n+¹₄a²

n= ¹₂ a²

n

a_n+1 = ^√1₂a_n

Par conséquent, la suite (an)ⁿ_∈^N est une suite géométrique de premier terme a₁ = 1 et de raisonr = √¹2.

Comme 0< r = ^√1₂ <1, la hauteur de la pile de cubes vaut : lim

n→+∞

a₁ +a₂ +a₃+. . .+a_n = a₁ · 1

1−r = 1· 1 1−

√12

= 1

√2−1

√2

=

√2

√2−1 =

√2 (√ 2 + 1) (√

2−1) (√

2 + 1) = 2 +√ 2

2−1 = 2 +√ 2

Désignons par v_n le volume (en m³) du cuben. Manifestement v_n=a³

n.

En particulier v₁ =a³₁ = 1³ = 1.

De même v_n+1³ =a³_n+1 = ^√1₂a_n³

= ₂^√1₂a³

n= ₂^√1₂ v_n.

Il apparaît ainsi que la suite (v_n)ⁿ_∈^N est une suite géométrique de premier terme v₁ = 1 et de raisonr = ₂^√1₂.

Vu que 0< r= ₂√¹2 <1, le volume de la pile de cubes vaut : lim

n→+∞

v₁+v₂+v₃+. . .+v_n=v₁· 1

1−r = 1· 1 1−

1 2√

2

= 1

2√2−1 2√2

= 2√ 2 2√

2−1 = 2√

2 (2√ 2 + 1) (2√

2−1) (2√

2 + 1) = 8 + 2√ 2

8−1 = 2 (4 +√ 2) 7

Analyse : suites arithmétiques & géométriques Corrigé 4.25