TS Test 2 2011-2012
EXERCICE 1 Cours
1. uest dérivable surIet vdérivable surJ tel queu(I)⊂J : (vou)′=u′×(v′ou) . 2. uest dérivable surIet n∈N, (un)′=nu′un−1.
3. √
uest dérivable surI si uest dérivable surI et si u >0 sur I . Alors (√
u)′= u′ 2√
u . 4. • Si q >1, lim
n→+∞qn = +∞
• Si q= 1, lim
n→+∞1n= 1
• Si −1< q <1, lim
n→+∞qn = 0
• Si q=−1,(−1)n n’a pas de limite.
• Si q <−1,(qn) n’a pas de limite.
EXERCICE 2 Ensemble de définition.
Ensemble de définition de la fonctionh:x7−→√
3x−1−2x2 .hest définie si et seulement si 3x−1−2x2>0.
∆ = 32−4×(−2)×(−1) = 1 et donc les solutions de 3x−1−2x2= 0 sontx1= 1 etx2=1 On peut réaliser un tableau de signes : 2
x
Signe de 3x−1−2x2
−∞ 12 1 +∞
− 0 + 0 −
(signe deaà l’extérieur des racines) Ainsi Dh= [12; 1] .
EXERCICE 3 Dérivée de la fonctionhdéfinie surRpar :h(x) = (x3−8)3. h=u3 avecu:x7−→x3−8 etudérivable surR.
D’après la leçon,h′= 3u′u2 avecu′:x7−→3x2.
On a donc :∀x∈R, h′(x) = 3×3x2(x3−8)2= 9x2(x3−8)2.
EXERCICE 4 On a : 4n−5n
4n+ 5n = 5n
4n
5n
−1
5n
4n
5n
+ 1
=
4
5 n
−1
4
5 n
+ 1 Comme 4
5 ∈]−1; 1[, lim
n→+∞
4
5 n
= 0 et donc lim
n→+∞
4n−5n
4n+ 5n =−1 grâce aux opérations sur les limites.
EXERCICE 5 Forme indéterminée.
√2x−1−1 x−1 =
√2x−1−√
2×1−1
x−1 . On reconnaît le taux d’accroissement de la fonctionx7−→√
2x−1 qui est dérivable en 1 donc lim
x→1
√2x−1−1 x−1 =
1
√2x−1
x=1
= 1 car (x7−→√
2x−1)′ = (x7−→ 1
√2x−1).
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