Propriété 1 Si (un

Propriété 1 Si (u _n ) est une suite positive et φ une bijection N dans N alors :

+∞

X

i=0

u i =

+∞

X

i=0

u _φ(i)

Démonstration : 1. P +∞

i=0 u _φ(i) converge car si n ∈ N, il existe un N tel que {φ(0), ..., φ(n)} ⊂ {0, ..., N}

d'où :

n

X

i=0

u φ(i) ≤

N

X

i=0

u i ≤ S (En notant S = P +∞

i=0 u _i ) On en déduit que la série P +∞

i=0 u _φ(i) est majorée à terme positif donc converge.

2. On note S ⁰ = P +∞

i=0 u _φ(i) . Montrons que S = S ⁰ :

On sait déjà que S ⁰ ≤ S . Mais en utilisant le point 1 au couple (u _φ(n) ) , φ ⁻¹ on obtient que :

+∞

X

i=0

u _φ

(φ(i)) ≤

+∞

X

i=0

u _φ(i)

c'est à dire que S ≤ S ⁰ .

Propriété 2 Si (u n ) est une suite telle que la série P +∞

i=0 u i est absolument convergente et φ une bijection N dans N alors :

+∞

X

i=0

u i =

+∞

X

i=0

u _φ(i)

Démonstration D'après la propriété 1, P +∞

i=1 u φ(i) converge absolument donc converge. Si x ∈ R, on pose : x ⁺ = x si x ≥ 0 et x ⁺ = 0 sinon.

De même, on pose x ⁻ = x si x ≤ 0 et x ⁻ = 0 sinon.

Ainsi : |u ⁺ _n | ≤ |u n | donc la série P +∞

i=0 u ⁺ _i converge.

De même P +∞

i=0 u ⁻ _i converge.

On applique la propriété 1 à ces séries : P +∞

i=0 u ⁺ _i = P +∞

i=0 u ⁺ _φ(i) et P +∞

i=0 u ⁻ _i = P +∞

i=0 u ⁻ _φ(i) puis en sommant et en remarquant que x = x ⁺ + x ⁻ , on obtient le résultat.

Un exemple concrêt de tribu On considère le lancer de deux pièces indiscernables. Le bon ensemble pour modéliser est l'ensemble Ω = {P P, P F, F P, F F } . La tribu "`naturelle"' des évènements sera :

{∅; {P P }; {F F }; {P P, F F }; {P F, F P }; {P P, F P, P F }; {F F, F P, P F }}

1