Démonstration du théorème de Pythagore et de sa réciproque
Prérequis
Propriété (PC) Si a
b = c
d alors ad = bc
Théorème de Pythagore (P)
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Démonstration
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Démonstration
ABC semblable à ACD
(S1)
ABC semblable à CBD
(S1)
a
2= c c
1(S2)
(S2)
(PC)
(PC)
b
2= c c
2a
2+ b
2= c c
1+ c c
2= c (c
1+ c
2) = c
2Propriété (S2)
Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles.
Propriété (S1)
Si deux triangles ont deux à deux deux angles de même mesure alors ils sont semblables.
Définition
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles ont deux à deux la même mesure.
(P) (E1)
Propriété (E1)
Si deux triangles sont égaux alors leurs angles ont deux à deux la même mesure.
Définition
Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés ont deux à deux la même longueur.
