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DÉMONSTRATION GUIDÉE DU THÉORÈME DE CROISSANCE COMPARÉE. Propriété

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

DÉMONSTRATION GUIDÉE DU THÉORÈME DE CROISSANCE COMPARÉE.

Propriété :

Pour tout n de ; lim

x

ex xn

1. Cas où n 0.

x

0

1 donc on cherche à prouver que lim

x

e

x

. La démonstration est dans le cours.

2. Cas où n 1.

a.

En introduisant une fonction, montrer que, pour tout x 0, e

x

2 .

b.

En déduire que lim

x

ex

x

.

3. Cas où n 2.

Soit n un entier naturel.

a.

Montrer que, pour tout n de * et pour tout x 0, on a : e

x

x

n

 

 

 

 

1

n e

x n

x n

n

. En posant X x

n , montrer que lim

x

ex xn

(2)

DÉMONSTRATION GUIDÉE DU THÉORÈME DE CROISSANCE COMPARÉE.

Propriété :

Pour tout n de ; lim

x

ex xn

Cas où n 0.

x

0

1 donc on cherche à prouver que lim

x

e

x

. La démonstration est dans le cours.

Cas où n 1.

Étape 1 : on prouve que pour tout x 0, e

x

2 . Soit f la fonction définie sur + par f( x) e

x

2 . f est dérivable sur +. Pour tout réel x 0, f (x ) e

x

x .

On a montré dans le cours que, pour tout x de , e

x

x 1 donc e

x

x et donc f (x ) 0.

La fonction f est donc strictement croissante sur +.

Ainsi, pour tout x 0, f ( x) f(0), c'est-à-dire e

x

2 1 0 et donc e

x

2 . Étape 2 : on en déduit lim

x

ex x .

Pour tout x 0, e

x

2 donc e

x

x

x

2 (on divise par x qui est positif).

Or lim

x

x

2

donc, par comparaison, lim

x

e

x

x .

Cas où n 2.

Soit n un entier naturel.

Étape 1 : on transforme l expression.

Pour tout x de ,

 

 

 

 

1

n e

x n

x n

n

 

 

1

n

e

x

n n

x

n

 

 

1 x

e

x n

x

 

 

1 x

n

( ) e

x n

n

1

x

n

e

x

e

x

x

n

.

Étape 2 : on en déduit lim

x

ex xn.

On pose X x

n . Al ors e

x

x

n

 

 

 

 

1

n e

x n

x n

n

 

 

1

n eX

X

n

n est un entier strictement positif fixé donc lim

x

X .

D autre part : lim

X

eX

X

(voir le cas précédent) et n 0 donc lim

X

 

 

1

n eX

X

et donc lim

X

 

 

1

n eX

X

n

. Alors lim

x

ex

xn

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