DÉMONSTRATION GUIDÉE DU THÉORÈME DE CROISSANCE COMPARÉE.
Propriété :
Pour tout n de ; lim
x
ex xn
1. Cas où n 0.
x
01 donc on cherche à prouver que lim
x
e
x. La démonstration est dans le cours.
2. Cas où n 1.
a.
En introduisant une fonction, montrer que, pour tout x 0, e
xx² 2 .
b.En déduire que lim
x
ex
x
.
3. Cas où n 2.
Soit n un entier naturel.
a.
Montrer que, pour tout n de * et pour tout x 0, on a : e
xx
n
1n e
x n
x n
n
. En posant X x
n , montrer que lim
x
ex xn
DÉMONSTRATION GUIDÉE DU THÉORÈME DE CROISSANCE COMPARÉE.
Propriété :
Pour tout n de ; lim
x
ex xn
Cas où n 0.
x
01 donc on cherche à prouver que lim
x
e
x. La démonstration est dans le cours.
Cas où n 1.
Étape 1 : on prouve que pour tout x 0, e
x x²2 . Soit f la fonction définie sur + par f( x) e
xx²
2 . f est dérivable sur +. Pour tout réel x 0, f (x ) e
xx .
On a montré dans le cours que, pour tout x de , e
xx 1 donc e
xx et donc f (x ) 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur +.
Ainsi, pour tout x 0, f ( x) f(0), c'est-à-dire e
xx²
2 1 0 et donc e
xx² 2 . Étape 2 : on en déduit lim
x
ex x .
Pour tout x 0, e
xx²
2 donc e
xx
x
2 (on divise par x qui est positif).
Or lim
x
x
2
donc, par comparaison, lim
x
e
xx .
Cas où n 2.
Soit n un entier naturel.
Étape 1 : on transforme l expression.
Pour tout x de ,
1n e
x n
x n
n
1n
e
x
n n
x
n
1 xe
x n
x
1 xn
( ) e
x n
n
1
x
ne
xe
xx
n.
Étape 2 : on en déduit lim
x
ex xn.
On pose X x
n . Al ors e
xx
n
1n e
x n
x n
n
1n eX
X
n
n est un entier strictement positif fixé donc lim
x
X .
D autre part : lim
X
eX
X
(voir le cas précédent) et n 0 donc lim
X
1n eX
X
et donc lim
X
1n eX
X
n
. Alors lim
x
ex
xn