A807 – Une calculette toute simple (***** à la main)
Solution proposée par Pierre Henri Palmade
La calculette effectue la division euclidienne de N=10^25 par la mantisse p comprise entre 10^11(inclus) et 10^12(exclu) N=pq+r avec r<p. Pour obtenir le nombre initial après une double opération, il faut et il suffit que cette division soit réversible, c'est à dire qu'on obtienne le quotient p en divisant N par q, c'est à dire si et seulement si r<q.
Ce sera évidemment le cas si p<q c'est à dire si p<rac(N) soit p < 316227766016. Pour les autres, il suffit de remarquer que pour p<rac(N), l'application qui fait correspondre q à p est injective (en effet,(p+1)q=pq+q>pq+p>pq+r=N; deux nombres consécutifs, a fortiori deux nombres quelconques ne peuvent avoir le même quotient). En mettant de coté 10000000000 qui est son propre inverse, il y aura donc autant de mantisses supérieures à rac(N) donnant une division réversible, que de mantisses inférieures à rac(N)Il y aura donc 2*216227766016 +1= 432455532033 mantisses réversibles soit moins d'une sur deux.
