TS (spécialité) DS 3 2012-2013
EXERCICE 1 Soitxety deux réels tels quex+y=1et soitAet B deux matrices deM2(R) telles que :
A= x x y y
!
etB= y −x
−y x
!
1. CalculerABet BA.
2. Démontrer que pour tout entier natureln>1,An=AetBn=B.
3. Soit la matriceM = p q 1−p 1−q
!
oùpetqsont des réels tels que p−q6= 1.
(a) Vérifier que M =A+ (p−q)B avecx= q
1−p+q et y= 1−p 1−p+q.
(b) Démontrer par récurrence que, pour tout entiern>1, Mn=A+ (p−q)nB.
(c) Dans le cas où−1< p−q <1, que peut-on dire pour les coefficients de la matriceMn lorsqueMn lorsque ntend vers +∞.
EXERCICE 2 On considère une grande population d’acheteurs de yaourts. On suppose que l’effectif de cette popu- lation est stable ; Une entreprise commercialise ses yaourts sous la marqueYa.
30% des acheteurs de yaourts achètent la marqueYa.
L’entreprise décide de faire une campagne de publicité pour améliorer ses ventes. Au bout d’une semaine, une enquête indique que :
• 20% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine d’avant des yaourts d’autres marques achètent maintenant des yaourtsYa.
• 10% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine d’avant des yaourtsYa achètent maintenant des yaourts d’autres marques.
L’entreprise décide de continuer sa campagne publicitaire.
1. Dessiner un graphe probabiliste correspondant à cette situation. (noterY l’événement : « Acheter un yaourt de la marqueYa» etY pour l’événement contraire)
2. SoitX0=
0,3 0,7
la matrice décrivant l’état initial de la population.
(a) Donner la matrice de transitionA (∈ M2(R)), associée au graphe précédent et permettant de passer d’un état à l’état suivant. (on écrira la matrice dans l’ordre MarqueYa, autres marques)
(b) CalculerX0A2. En déduire la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire choisisse des yaourts de la marque Ya (on suppose que les évolutions de vente constatées au bout d’une semaine se poursuivent de la même manière).
3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln>1,
An= un vn
wn tn
! avec
un= 23+13×0,7n vn =13−13×0,7n wn= 23−23×0,7n tn=13+23×0,7n On effectuera la démonstration seulement sur l’un des coefficients.
(b) CalculerX0An, puis la limite de chacun des coefficients de la matrice obtenue. Interpréter ce résultat.
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