TS (spécialité) DS 3 2012-2013
EXERCICE 1 Soitxety deux réels tels quex+y=1et soitAet B deux matrices deM2(R) telles que : A= x x
y y
!
etB= y −x
−y x
!
1. AB= 02et BA= 02.
2. Soit, pour tout entier natureln∈N∗, la propriétéP(n) :An=A.
Initialisation:n= 1 etA1=AdoncP(1) est vraie.
Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.
P(n) est vraie ⇔An=A
⇔A×An=A×A
⇔An+1=A2
⇔An+1=A en effet x x
y y
!
× x x y y
!
= x2+xy x2+xy xy+y2 xy+y2
!
= x(x+y) x(x+y) y(x+y) y(x+y)
!
= x x
y y
!
=Acarx+y = 1.
doncP(n+ 1) est vraie.
Ainsi pour tout entier natureln∈N∗, An=A. On démontre de même queBn=B.
3. Soit la matriceM = p q 1−p 1−q
!
oùpetqsont des réels tels que p−q6= 1.
(a) A+(p−q)B= x+ (p−q)y x(1−p+q) y(1−p+q) y+ (p−q)x
!
=
q+(p−q)(1−p)
1−p+q q
1−p+q(p−q)
−p+q 1−q
!
=
numé. dével.
f acto. simpl.
p q
1−p 1−q
!
=M
avecx= q
1−p+q ⇔x(1−p+q) =q et y= 1−p
1−p+q ⇔y(1−p+q) =1−p.
(b) Soit, pour tout entier natureln∈N∗, la propriétéP(n) : Mn=A+ (p−q)nB.
Initialisation:n= 1 etA+ (p−q)B=M (cf. 3.a) doncP(1) est vraie.
Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.
P(n) est vraie ⇔Mn =A+ (p−q)nB
⇒M ×Mn=M(A+ (p−q)nB)
⇔Mn+1=M A+ (p−q)nM B
⇔Mn+1=A+ (p−q)n(p−q)B
⇔Mn+1=A+ (p−q)n+1B
en effetM A= (A+ (p−q)B)A=A2+ (p−q)BA=A+ (p−q)02=A(cf. 1. et 2.); etM B= (A+ (p−q)B)B =AB+ (p−q)B2= 02+ (p−q)B = (p−q)B (cf. 1. et 2.).
doncP(n+ 1) est vraie.
Ainsi pour tout entier natureln∈N∗, Mn=A+ (p−q)nB. (c) −1< p−q <1, (p−q)n −→
n→+∞0 donc le coeffcients de la matriceMntendent vers ceux deA. (compte-tenu des propriétés opératoires sur les matrices)
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EXERCICE 2 On considère une grande population d’acheteurs de yaourts. On suppose que l’effectif de cette popu- lation est stable ; Une entreprise commercialise ses yaourts sous la marqueYa.
30% des acheteurs de yaourts achètent la marqueYa.
L’entreprise décide de faire une campagne de publicité pour améliorer ses ventes. Au bout d’une semaine, une enquête indique que :
• 20% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine d’avant des yaourts d’autres marques achètent maintenant des yaourtsYa.
• 10% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine d’avant des yaourtsYa achètent maintenant des yaourts d’autres marques.
L’entreprise décide de continuer sa campagne publicitaire.
1. Graphe probabiliste
bc
Y 0,1 Ybc
0,2
0,9 0.8
2. SoitX0=
0,3 0,7
la matrice décrivant l’état initial de la population.
(a) Matrice de transitionA associée au graphe précédent et permettant de passer d’un état à l’état suivant.
A= pYi(Yi+1) pYi(Yi+1) pYi(Yi+1) pYi(Yi+1)
!
= 0,9 0,1 0,2 0,8
!
oùYi :« acheter des yaourtsYa au bout deisemaine(s) de campagne publicitaire ».
(b) X0A2=
0,3 0,7 0,9 0,1 0,2 0,8
!2
=
0,3 0,7 0,83 0,17 0,34 0,66
!
=
0,487 0,513 .
On notep(Y2) la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire choisisse des yaourts de la marqueYa. Compte-tenu de la formule des probailités totales, on a :
p(Y2) =pY1(Y2)p(Y1) +pY1(Y2)p(Y1)
=pY1(Y2)h
pY0(Y1)p(Y0) +pY0(Y1)p(Y0)i
+pY1(Y2)h
pY0(Y1)p(Y0) +pY0(Y1)p(Y0)i
=p(Y0)[pY1(Y2)pY0(Y1) +pY1(Y2)pY0(Y1)] +p(Y0)[. . . .]
On constate que
p(Y0 p(Y0) pY0(Y1) pY0(Y1) pY0(Y1) pY0(Y1)
! pY1(Y2) pY1(Y2) pY1(Y2) pY1(Y2)
!
= A B
oùA=p(Y2) calculé pus haut, doncp(Y2) = 0,487
3. (a) Soit, pour tout entier natureln∈N∗, la propriétéP(n) :
An= un vn
wn tn
! avec
un= 23+13×0,7n vn =13−13×0,7n wn= 23−23×0,7n tn=13+23×0,7n Initialisation:n= 1 et 2
3+1
3×0,71= 2,7
3 = 0,9 =a11. Idem pour les trois autres coeffcients doncP(1) est vraie.
Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.
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P(n) est vraie ⇔An= un vn
wn tn
!
⇒A×An = 0,9 0,1 0,2 0,8
! un vn
wn tn
!
⇔An+1= 0,9un+ 0,1wn ⋆
⋆ ⋆
!
⇔Mn+1= un+1 ⋆
⋆ ⋆
!
en effet 0,9un+ 0,1wn= 0,9 2
3 +1 3×0,7n
+ 0,1
2 3−2
3 ×0,7n
= 3 5 + 3
10×0,7n+ 1 15− 1
15×0,7n
= 2 3+ 7
30×0,7n=2 3 +1
3× 7
10×0,7n=2 3 +1
3×0,7n+1=un+1
doncP(n+ 1) est vraie.
Ainsi pour tout entier natureln∈N∗,
An = un vn
wn tn
! avec
un =23+13×0,7n vn= 13−13×0,7n wn =23−23×0,7n tn= 13+23×0,7n (b) X0An =
0,3 0,7 un vn
wn tn
!
=
0,3un+ 0,7vn 0,3vn+ 0,7tn
= an bn
Avecan = 0,3 2
3 +1 3 ×0,7n
+ 0,7
2 3−2
3 ×0,7n
=2 3 −11
30 ×0,7n; etbn= 0,3
1 3−1
3 ×0,7n
+ 0,7 1
3 +2 3×0,7n
= 1 3+11
30×0,7n Comme−1<0,7<1, 0,7n −→
n→+∞0 et par suite an −→
n→+∞
2
3 et bn −→
n→+∞
1 3.
La part de marché pour l’entreprise qui produit la marqueYa sera potentiellement d’environ 67%.
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