I. Transformer une figure par homothétie
Définition : Transformer une figure par une homothétie, c’est l’agrandir ou la réduire en la faisant glisser. Une homothétie est donc un cas particulier d’agrandissement/réduction.
Une homothétie est définie par un centre (un point) et un rapport 𝑘 non nul (un nombre positif ou négatif).
Si −1 < 𝑘 < 1, l’image sera une réduction de la figure initiale
Si 𝑘 < −1 𝑜𝑢 𝑘 > 1, l’image sera un agrandissement de la figure initiale.
Propriété : Comme pour un agrandissement ou une réduction, une figure et son image par une homothétie ont la même forme donc :
L’alignement et les mesures des angles sont conservés ;
Les longueurs sont multipliées par 𝑘 ;
Les aires sont multipliées par 𝑘2
Exemples :
Le triangle MNP est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 1
3.
Les longueurs du triangle MNP sont donc trois fois plus petites que celles du triangle ABC.
Les triangles ABC et MNP sont des triangles semblables.
Le triangle FGH est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport −2.
Les longueurs du triangle FGH sont donc deux fois plus grandes que celles du triangle ABC.
Les triangles ABC et FGH sont des triangles semblables.
Méthode : Pour tracer l’image M’ d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport 𝑘 : 1. On trace la droite (OM) :
Si 𝑘 > 0, M’ est du même côté que M par rapport à O ;
Si 𝑘 < 0, M’ est du côté opposé à M par rapport à O.
2. On reporte les longueurs : 𝑂𝑀′ = 𝑘 × 𝑂𝑀
Remarque : La symétrie centrale est un cas particulier d’homothétie : c’est une homothétie de rapport -1.
