• Supposons que P

Convergence commutative

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1, page 202 Théorème : Soit (a n ) une suite de nombres complexes. Alors

X |a n | converge ⇐⇒ ∀σ ∈ S(N), X

a σ(n) converge

• Supposons que P

|a n | converge. Soit σ ∈ S (N) . Alors, pour tout N ∈ N , P ^N

n=0

|a _σ(n) | ≤ ^+∞ P

n=0

|a n | . On en déduit que P

|a _σ(n) | converge et donc que P

a _σ(n) converge.

Montrons, de plus, ce qui nous sera utile pour la suite de l'exercice, que ^+∞ P

n=0

a _σ(n) = ^+∞ P

n=0

a n . Soit ε > 0 et un entier n 0 tel que ^+∞ P

n=n

0

|a n | ≤ ε . Posons n 1 = max

k∈{0,...,n

0

} σ ⁻¹ (k) . On a alors σ(n) > n 0 pour n > n 1 . Pour N > n 0 , n 1 , on a ¯

¯ ¯

¯ ¯ X N n=0

a σ(n) − X N n=0

a n

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ 2 X +∞

n=n

0

|a n | ≤ 2ε

car les termes de la suite (a n ) d'indice inférieur à n 0 sont présents dans les deux sommes. En faisant tendre N vers +∞, on obtient

¯ ¯

¯ ¯

+∞ P

n=0

a σ(n) − ^+∞ P

n=0

a n

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 2ε pour tout ε > 0, d'où l'égalité des sommes.

• Supposons maintenant que P

|a n | diverge. Posons, pour tout entier n, x n = <(a n ) et y n = =(a n ).

Puisque, pour tout n, |a n | = p

x ² _n + y _n ² ≤ |x n | + |y n |, on en déduit que P

|x n | ou P

|y n | diverge.

Montrons que si (u n ) n∈N est une suite réelle telle que P

|u n | diverge, alors il existe σ ∈ S(N) tel que P u σ(n) diverge. Ceci nous montrera qu'on peut trouver σ ∈ S(N) tel que P

x σ(n) ou P

y σ(n) diverge.

On pourra conclure que P

a σ(n) diverge.

Si (u n ) est de signe constant à partir d'un certain rang, P

u n diverge et σ = Id N convient. Sinon, il y a une innité de termes strictement positifs et une innité de termes strictement négatifs. Posons, pour n ∈ N , u ⁺ _n = max(u n , 0) et u ⁻ _n = max(−u n , 0) . Puisque que |u n | = u ⁺ _n + u ⁻ _n , l'une des deux séries P

u ⁺ _n et P

u ⁻ _n diverge. Soit (u _ϕ(n) ) n∈N la suite extraite de (u n ) n∈N comportant les termes de la suite positifs ou nuls et (u _ψ(n) ) n∈N la suite extraite de (u n ) n∈N comportant les termes strictement négatifs. De ce qui précède, on déduit que P

u ϕ(n) ou P

ψ(n) diverge. En eet, pour tout N ∈ N, P ^N

n=0

u ϕ(n) =

ϕ(N P ) n=0

u ⁺ _n et P N

n=0 u ψ(n) = −

ψ(N) P

n=0 u ⁻ _n . Supposons que P

u ϕ(n) diverge. Alors lim

N ∞

P N

n=0 u ϕ(n) = +∞. On dénit une suite d'entiers strictement croissante (n k ) k∈N

^∗

de la façon suivante :

? n 1 est le plus petit entier tel que u ψ(0) + P ⁿ

¹

j=0

u ϕ(j) > 1 ; n 1 existe car lim

N ∞

P N n=0

u ϕ(n) = +∞

? n 1 , n 2 , . . . , n k étant déterminés, n k+1 est le plus petit entier supérieur à n k tel que u ψ(k) +

n P

k+1

j=n

k

+1

u ϕ(j) >

1 ; n k+1 existe pour les mêmes raisons que n 1 .

Dénissons maintenant σ , élément de S(N) . On pose pour n ∈ {0, . . . , n 1 } , σ(n) = ϕ(n) et σ(n 1 + 1) = ψ(0) , puis pour tout k ∈ N ^∗ , et pour n ∈ {n k + k + 1, . . . , n k+1 + k} , σ(n) = ϕ(n − k) et σ(n k+1 + k + 1) = ψ(k) .

Pour tout k ∈ N , σ réalise une bijection de {n k +k+1, . . . , n k+1 +k} sur ϕ ({n k + k + 1, . . . , n k+1 + k})

; σ réalise donc une bijection de N\{n k + k, k ∈ N ^∗ } sur ϕ(N). D'autre part, σ réalise une bijection de {n k + k, k ∈ N ^∗ } sur ψ(N). Puisque {ϕ(N), ψ(N)} est une partition de N, σ est un élément de S(N).

Enn, on a pour tout k ∈ N ^∗ , ⁿ

^k

^+k+1 P

n=0

u _σ(n) ≥ k , donc la série P

u _σ(n) diverge. Si c'est P

u _ψ(n) qui diverge, il sut de considérer la suite (−u _n ) _n∈N et de lui appliquer la démonstration qui précède pour montrer l'existence de σ ∈ S tel que P

u _σ(n) diverge.

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