Montrer que la suite (wn)n≥1 est `a termes positifs et d´ecroissante (on pourra ´etudier les variations de la fonction f d´efinie sur R par f(x) =x−sinx)

Universit´e Lille 1 L2 Maths

2017 - 2018 S3 - M33

Epreuve du 11 janvier 2018´

Dur´ee : 3h. Sans document ni calculatrice. Le bar`eme mentionn´e est indicatif.

Exercice 1. (7 points)Soit un r´eel α >0. Pour tout entier n≥1, on pose un = 1

n^α, vn = sin 1

n^α

et wn =un−vn.

On se propose d’´etudier la nature des s´eries X

n≥1

w_n et X

n≥1

(−1)ⁿw_n.

1. Montrer que la suite (wn)n≥1 est `a termes positifs et d´ecroissante (on pourra ´etudier les variations de la fonction f d´efinie sur R par f(x) =x−sinx).

2. En d´eduire la nature de la s´erie X

n≥1

(−1)ⁿwn.

3. D´eterminer la nature des s´eries X

n≥1

un et X

n≥1

vn selon la valeur de α.

4. Pour quelles valeurs de α la nature de la s´erie X

n≥1

w_n peut-elle se d´eduire du r´esultat de la question 3 ?

5. Donner un ´equivalent de w_n quand n→+∞.

6. En d´eduire la nature de la s´erie X

n≥1

wn selon les valeurs de α.

Exercice 2. (6 points) Pour tout r´eelx ≥0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−t 1 +txdt.

1. Montrer que l’on d´efinit ainsi une fonction F continue sur [0,+∞[.

Pour tout r´eelx > 0, on pose maintenant G(x) =

Z +∞

0

e^−sx 1 +sds.

2. Montrer que la fonction G est bien d´efinie sur ]0,+∞[ et que l’on a 0≤G(x)≤ 1 x. En d´eduire lim

x→+∞G(x).

(TSVP)

3. Trouver une relation simple entre G et F.

4. En d´eduire que G est continue sur ]0,+∞[, d´eterminer lim

x→+∞xG(x) et donner un

´

equivalent de G(x) lorsque x→+∞.

Exercice 3. (9 points)On se propose de d´emontrer la relation

(R)

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = Z +∞

1

lnt t²−1dt.

Soit f la fonction d´efinie sur ]1,+∞[ par f(t) = lnt t²−1. 1. Montrer que f se prolonge par continuit´e en 1.

2. Montrer que pour tout r´eel t ≥4, on a lnt ≤√ t.

3. En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee I d´efinie parI = Z +∞

1

f(t)dt est convergente.

4. Montrer que pour tout r´eel t ≥1, on a lnt ≤ 1

2(t²−1).

5. En d´eduire que pour tout entier N ≥ 0, l’int´egrale g´en´eralis´ee IN d´efinie par IN = Z +∞

1

f(t)

t^2N+2dt est convergente, et que l’on a|IN| ≤ 1 4N + 2.

6. Soit un entier n ≥ 0. `A l’aide d’une int´egration par parties convenablement justifi´ee, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee un donn´ee par un =

Z +∞

1

lnt

t²ⁿ⁺²dt est convergente et calculer sa valeur.

7. Montrer que pour tout entier N ≥0, on a

N

X

n=0

un =I−IN.

8. A l’aide de ce qui pr´` ec`ede, d´emontrer la relation (R).