Pour un entier n non nul et n nombres réels strictement positifs a

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Ce problème présente la preuve de Cauchy de l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique.

Pour un entier n non nul et n nombres réels strictement positifs a

1

, a

2

, · · · , a

n

on dénit : la moyenne arihtmétique A(a

1

, a

2

, · · · , a

n

) de a

1

, a

2

, · · · , a

n

en posant

A(a

1

, a

2

, · · · , a

n

) = 1 n

n

X

i=1

a

i

la moyenne géométrique G(a

1

, a

₂

, · · · , a

_n

) de a

₁

, a

₂

, · · · , a

_n

en posant G(a

1

, a

2

, · · · , a

n

) =

n

Y

i=1

a

i

!

_n¹

1. Montrer que A(a

1

, a

2

) ≥ G(a

1

, a

2

) . 2. Montrer par récurrence sur m que :

∀m ∈ N , ∀(a

1

, a

2

, · · · , a

2^m

) ∈ ( R

^∗+

)

^2m

, A(a

1

, a

2

, · · · , a

2^m

) ≥ G(a

1

, a

2

, · · · , a

2^m

) Ceci prouve que la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique lorsque le nombre de réels mis en jeu est une puissance de 2. On se propose maintenant d'étendre cette inégalité pour un nombre quelconque de réels.

3. Soit n un entier non nul et a

₁

, a

₂

, · · · , a

_n

des nombres réels strictement positifs. Il existe un entier m tel que 2

^m

≤ n < 2

^m+1

. Notons a = A(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_n

) et étendons la dénition des a

_i

en posant a

_i

= a pour tous les i entiers entre n + 1 et 2

^m+1

.

a. Calculer A(a

1

, a

₂

, · · · , a

₂m+1

) .

b. Montrer que A(a

1

, a

2

, · · · , a

n

) ≥ G(a

1

, a

2

, · · · , a

n

) .

Corrigé

Comparaison des moyennes arithmétiques et géométriques : méthode de Cau- chy

1. Comme A(a

₁

, a

₂

) =

¹₂

(a

₁

+ a

₂

) et G(a

₁

, a

₂

) = √

a

₁

a

₂

, la relation A(a

1

, a

2

)

²

− G(a

1

, a

2

)

²

= 1

4 (a

1

− a

2

)

²

> 0 assure A(a

1

, a

2

) ≥ G(a

1

, a

2

) .

2. La propriété est vraie pour m = 1 d'après la question 1. Passer de m à m + 1 revient à doubler le nombre de termes mis en jeu dans le calcul des moyennes.

A(a

1

, · · · , a

₂m+1

) = 1

2 (A(a

1

, · · · , a

2^m

) + A(a

2^m+1

, · · · , a

₂m+1

))

Comme on suppose l'inégalité pour les familles de 2

^m

nombres et pour les familles de 2 nombres, on a :

A(a

1

, · · · , a

₂m+1

) ≥ 1

2 (G(a

1

, · · · , a

2^m

) + G(a

2^m+1

, · · · , a

₂m+1

))

≥ p

G(a

1

, · · · , a

2^m

)G(a

2^m+1

, · · · , a

₂m+1

) = G(a

1

, · · · , a

₂m+1

) 3. Dans cette question, 2

^m

≤ n < 2

^m+1

, a = A(a

1

, · · · , a

_n

) et on considère la famille de

2

^m+1

termes

a

₁

, a

₂

, · · · a

_n

, a, · · · , a

| {z }

2^m+1termes

a. Calculons la moyenne arithmétique en tenant compte de : 1

n (a

₁

+ · · · + a

_n

) = a

A(a

1

, · · · , a

₂m+1

) = 1

2

^m+1

a

₁

+ · · · + a

_n

+ (2

^m+1

− n)a

= 1

2

^m+1

na + (2

^m+1

− n)a

= a b. D'après 3.a. et 2. : a ≥ G(a

1

, · · · , a

₂m+1

) . En élevant à la puissance 2

^m+1

on

obtient

a

^2m+1

≥ a

1

· · · a

n

a

^2m+1−n

ou encore a

ⁿ

≥ a

₁

· · · a

_n

. Comme a

₁

· · · a

_n

= G(a

₁

· · · a

_n

)

ⁿ

, on a bien la formule demandée.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Amoyag