et Q = &lt

L'angle BDC vaut 4 fois BAC

Idée :

Trouver C1 qui le centre du cercle circonscrit à A,B etC

puis trouver D qui est le centre du cercle circonscrit à C1, B et C (D est sur la médiatrice du segment BC par construction)

et montrer que la droite AD est perpendiculaire à la droite PQ

On concluera en disant que :

L'angle en C1 vaut 2 fois l'angle BAC (théorème de l'angle inscrit) l'angle en D vaut 4 fois l'angle BAC (théorème de l'angle inscrit)

D se trouve sur la médiatrice (par construction.) Reste à montrer que AD⊥PQ

On place le triangle ABC dans un repère orthonormé et on ne perd rien en posant A=<0;0> et C = <1;0>

on pose B = <a ; at > où t = tan( BAC) on a alors P = < a ; -at >

et Q = < 1 – 2s² ; 2sc > où s = sin( BAC) et c = cos(BAC) (!!! valable ssi l'angle BAC <= 45°)

On trouve alors C1=<1

2;at²a−1 2t >

et D=<at²a2

4 ;at²t²a−1

4t >

Calculons le produit scalaire suivant :

AD⋅PQ=

=

= 2c²( ) = 2c²a⋅c⁴−c²−s⁴s²−c⁴−c²s²c²

= 2c²a⋅00

Donc : AD⊥PQ