Montrer l’existence d’une suite réelle(un)vérifiant∀n∈N∗,unn+nun= 1

MPSI 2 Semaine 23

Exercice 1 Comportements asymptotiques, limites, fonctions 1. Trouver la limite de √ⁿ

n³+ 1.

2. Soitun(a) = 1 + a

n ⁿ

. Chercher équivalent deun(a+b)−un(a)un(b).

3. Soit(un)une suite réelle décroissante telle queun+un+1∼ ¹_n. Démontrerlimun= 0et un ∼_n². 4. Montrer l’existence d’une suite réelle (u_n) supérieure à 1 vérifiant ∀n ∈ N^∗, u_n −ln(u_n) = n.

Montrer un=n+ ln(n) +^ln(n)_n +o_ln(n)

n

.

5. Montrer l’existence d’une suite réelle(u_n)vérifiant∀n∈N^∗,uⁿ_n+nu_n= 1. Que valentu₁ etu₂? Montrer un∼ 1

n.

6. Trouver les points de (dis)continuité des fonctionsx7→p

x−E(x)etx7→E(x) +p

x−E(x).

7. Étudier la continuité ou proposer un prolongement par continuité de la fonctionf : (a) f est la fonction définie parf(x) = sin

xEπ x

. (b) f est la fonction définie parf(x) =

1−x 1 +x

ln(x)

. 8. Calculer les limites en 0 de e^x2+x−e^2x

cos ^πx₂

−1, sin(sinh(x))−sinh(sin(x))

x ,

p1 + sin(x)−cos(x) arcsin(x) et cos ^π₂cos(x)

sin(sin(x)) .

9. Pour n∈N, on posefn(x) =xⁿ(1−x). Déterminerlimn→+∞sup_x∈[0,1]fn(x).

10. Trouvera,b etc tels que √³

x³−6x²=ax+b+^c_x+o ¹_x .

11. Soitf de[0; 1]dans lui-même, croissante. Montrer qu’elle admet un point fixe (f(a) =a).

12. Soit g de R dans lui-même définie par g(x) = sin(x) 1 +x² − 1

x⁴+ 1 + 1

x⁶+ 1. Trouver M > 0 tel que, si |x| > M, on ait |g(x)| ≤ 1/100 (on ne demande pas le meilleur M possible) et montrer g(−1)<−₁₀₀¹ <₁₀₀¹ < g(1). En déduire queg est bornée surRet atteint ses bornes.

13. Les conclusions de l’exercice précédent sont-elles valides pour la fonctionx7→1/(1 +x²)? Exercice 2 Continuité

1. Soit f une fonction continue sur un intervalle et à valeurs dans {−1; +1}. Montrer que f est constante. En déduire que sif etg sont deux fonctions continues sur un intervalle et ne s’annulant pas, telles que|f|=|g|, on a f =gouf =−g.

2. Soitf etgcontinues sur[a;b]avec, pour toutxdans[a;b],f(x)> g(x). Montrer∃λ >0,∀x∈[a;b], f(x)≥g(x) +λ.

3. (Points fixes) Soitf continue deI= [a;b]dans lui-même.

(a) Montrer, en considérantf(x)−x, quef admet un point fixe (i.e. tel quef(c) =c).

(b) Montrer que ce point fixe est unique lorsquef est décroissante.

(c) Montrer que c’est encore le cas sif estk-lipschitzienne aveck <1(i.e.|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|).

(d) Montrer enfin quef a au plus deux points fixes lorsqu’elle est strictement convexe (i.e.f((1− t)x+ty)<(1−t)f(x) +tf(y)lorsque0< t <1et x6=y).

4. Soitf continue de[0; 1]dans lui-même telle que, pour tousx,y dans[0; 1], on ait|f(x)−f(y)| ≥

|x−y|. Montrer quef est l’une des fonctions x7→xoux7→1−x. (Considérerf(0) etf(1).)

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5. Soit f continue sur [0; 1] tel que f(0) = f(1). Démontrer ∀n ≥ 1, ∃x_n ∈ [0; 1] tel que f(x_n) = f xn+_n¹

.

6. (Fonctions additives continues) Soitaun réel etf une fonction continue de Rdans lui-même telle quef(1) =aet, pour tous réels xet y, f(x+y) =f(x) +f(y). Montrerf(n) =napour n dans Z, puis f(1/q) =a/qpour q dansN^∗ et enfinf(r) =ra pourr∈Q. Conclure, en utilisant la continuité de f et la densité deQdansR, quef est linéaire.

7. (Homomorphismes continus de (R^∗₊,×) dans(R,+)) Soitf deR^∗₊ dansR, continue en 1 et vérifiant f(xy) =f(x) +f(y). Montrerf(1) = 0 et f(1/x) =−f(x) pour x >0. Montrer quef est continue sur R^∗₊ (on écrirax+h=x(1 +h/x)). En posantf(2) =a, calculer f(2ⁿ),f(2^1/q) et enfin f(2^p/q)pour n, pet q entiers (q6= 0). En déduire qu’il existe une constante C telle que f(r) =Cln(r)pour tout rationnelr. Conclure, enfin, quef =Clnen utilisant la continuité def. 8. (Fonctions convexes)

(a) Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle vérifiant f ^x+y₂

≤ ¹₂(f(x) +f(y)) est convexe.

(b) Soit A l’ensemble des fonctions continues de R dans R vérifiant, pour tous x et y réels, f ^x+y₂

= ¹₂(f(x) +f(y)). Montrer(f, g)∈A²⇒f−g∈Aet queA contient les fonctions affines. Soit f dans A et a < b tels que f(a) = f(b) = 0; montrer que f a+k^b−a₂n

= 0si 0≤k≤2ⁿ. En conclure que f est nulle sur[a;b], puis surR. Montrerf ∈A⇒f est affine.

Exercice 3 Sous-groupes de R, densité et fonctions périodiques 1. Montrer qu’une fonction continue sur Ret périodique est bornée.

2. SoitAun sous-groupe additif de(R,+)non réduit à{0}et a= inf(A∩R^×₊. (a) Montrer que sia >0, alorsa∈A. En déduireA=aZ={na|n∈Z}.

(b) Montrer que si a= 0, alors A est dense dans R, i.e. que tout intervalle I non réduit à un point contient au moins un point deA.

3. Montrer qu’une fonction continue sur R admettant 1 et √

2 comme périodes est nécessairement constante.

4. En considérant{n+ 2kπ|(n, k)∈Z}, montrer que tout intervalle non réduit à un point et contenu dans[−1; 1]contient au moins un nombre de la formesin(n), avecnentier.

Exercice 4 Dimension fractale (*)

SoitKune partie fermée et bornée deR. On dit queU = (Ik)1≤k≤n est un recouvrement fini de Kpar des intervalles si :K⊂ ∪ⁿ_k=1I_k avec, pour tout1≤k≤n,I_k=]x_k−r_k;x_k+r_k[pourx_k∈Retr_k >0.

On pose alorsr_K(U) = max

n∈Er_n et, pourddansR₊, on notef_K(d,U) =X

n∈E

r_n^d. 1. On posegK,ε(d) = inf

U/rK(U)≤εfK(d,U), l’infimum étant pris parmi tous les recouvrements deKtels querK(U)≤ε. On ne suppose pas que cette quantité est finie, autrement ditgK,ε(d)∈R+∪{+∞}.

Montrer qu’on asup_ε∈R^×

+gK,ε(d) = lim_ε∈R^×

+gK,ε(d)(en tant qu’éléments deR+∪ {+∞}. On note gK(d)cette limite.

2. Montrer quegK est décroissante et qu’elle vérifie(d⁰> detgK(d)<+∞)⇒gK(d⁰) = 0.

3. En déduire qu’il existe un unique d₀=d(K), appelé dimension fractale (ou de Hausdorff), deK tel que g_K(d) = +∞sid < d₀et g_K(d) = 0sid > d₀.

4. Montrer d(K) = ln(2)

ln(3) lorsque K = (_+∞

X

n=0

a_n3⁻ⁿ |a_n= 0oua_n= 2 )

, i.e.K est l’ensemble tri- adique de Cantor.

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