Université Bordeaux Algèbre 3 – Licence 2
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no1
Ensembles, applications, relations d’équivalence
Exercice 1 – Dans ce qui suitI et J sont des intervalles non vides de Rtels que, quel que soit x∈I, on ait x2 ∈J. Soit f :I →J définie parf(x) =x2.
1) Trouver I etJ tels que :
(a) f est injective, mais pas surjective ; (b) f est surjective, mais pas injective ; (c) f n’est ni injective, ni surjective ; (d) f est bijective.
2) On suppose I =J =R. Déterminer f−1([1,4]) etf−1([−1,1[).
Exercice 2 – Soit f :R2 →R définie par
f : (x, y)7→x+y.
1) Montrer que f est surjective, mais pas injective. Pour a ∈ R, calculer f−1({a}), et trouver une bijection entre f−1({a}) etR.
2) Soit g :R2 →R2 définie par g : (x, y)7→(x+y, xy).
a) Montrer que g n’est pas injective.
b) Déterminer l’image de g, B =g(R2).
c) Soit A ={(x, y) ∈R2; x 6y}. Montrer que la restriction de g à A est une bijection de A dans B.
Exercice 3 – SoientE, F, GetH des ensembles et soientf :E →F,g :F →Geth:G→H des applications. Montrer que g ◦f et h◦ g sont bijectives si et seulement si f, g et h sont bijectives.
Exercice 4 – Soient E un ensemble et f : E → E une application vérifiant f ◦f ◦f = f. Montrer que f est injective si et seulement si elle est surjective.
Exercice 5 – Soit E un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection f de E sur P(E).
Indication : se servir de l’ensemble A={x∈E; x6∈f(x)}.
Exercice 6 – Soit n>1 un entier.
1) Combien y a-t-il d’applications injectives d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à n+ 1 éléments ?
2) Combien y a-t-il d’applications surjectives d’un ensemble à n+ 1éléments dans un ensemble à n éléments ?
Exercice 7 – Soient E un ensemble etA⊆E.
1) On définit l’application fA:P(E)→ P(E) par fA(B) =B∩A. Dans quels cas l’application f est-elle injective ? surjective ?
2) On définit l’application gA:P(E)→ P(E) par gA(B) =B∪A. Dans quels cas l’application gA est-elle injective ? surjective ?
Exercice 8 – Soient E un ensemble etA, B ⊆E. On considère l’application ϕ:P(E) → P(A)× P(B)
X 7→ (X∩A, X∩B) 1) Montrer que ϕest injective si et seulement si A∪B =E.
2) Montrer que ϕest surjective si et seulement si A∩B =∅.
Exercice 9 – Soient E, F des ensembles et f :E →F une application.
1) Montrer que pour tout A⊆E et toutB ⊆E, on a f(A∪B) =f(A)∪f(B).
2) Montrer que pour tout A⊆ E et tout B ⊆E, on a f(A∩B)⊆ f(A)∩f(B) et exhiber un exemple dans lequel cette inclusion est stricte.
3) Montrer que f est injective si et seulement si pour tout A ⊆ E et tout B ⊆ E, on a f(A∩B) = f(A)∩f(B).
4) Montrer que pour tout A ⊆ F et tout B ⊆ F, on a f−1(A∪B) = f−1(A)∪ f−1(B) et f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B).
5) Montrer que pour tout A ⊆E, on a A ⊆f−1(f(A)) et que f est injective si et seulement si pour tout A⊆E, on a A=f−1(f(A)).
6) Montrer que pour tout C⊆F, on a f(f−1(C))⊆C et que f est surjective si et seulement si pour tout C ⊆F, on a f(f−1(C)) =C.
Exercice 10 –
1) Montrer que la relation définie sur R2 par (x, y)R(x0, y0) ⇔ x+y0 =y+x0 est une relation d’équivalence. Décrire la classe d’équivalence de (1,1).
2) Montrer que la relation définie sur N par aRb⇔ 2a+b
3 ∈ N est une relation d’équivalence.
Déterminer toutes les classes d’équivalence pour cette relation.
Exercice 11 – Soit f :R→R une application telle que pour tout x∈R, f(x)6= 0.
1) On définit sur R la relation R par : xRy ⇔ xf(y) = yf(x). Montrer que R est une relation d’équivalence.
2) On pose g(x) = x/f(x) pour tout x ∈ R. Soit x ∈ R. On note Cl(x) la classe de x pour la relation R. Montrer que Cl(x) = g−1({g(x)}).
Exercice 12 – Soitn>1un entier. On définit surZla relationR par :xRy ⇔xn+yn est pair.
1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
2) Quelles sont les classes d’équivalence pour la relation R?
Exercice 13 – Soient n > 2 un entier et E = Mn(R). Etant données deux matrices A et B dans E, on dit que A est semblable à B s’il existe une matrice P dans E inversible telle que A =P−1BP.
1) Montrer que la relation “être semblable” est une relation d’équivalence.
2)Montrer que l’application déterminant, deE dansRest constante sur les classes d’équivalence de E pour la relation “être semblable”.
3) Appliquer le théorème de factorisation. L’application ainsi factorisée est-elle injective ? Exercice 14 – Soient E un ensemble et A ⊆ E. On définit sur P(E) la relation R par : XRY ⇔X∩A=Y ∩A et la relation S par : XSY ⇔X∪A=Y ∪A.
1) Montrer que R et S sont des relations déquivalence.
2) Déterminer les classes de ∅, E, A et{AE pour ces deux relations.
3)Établir une bijection entreP(E)/RetP(A), ainsi qu’une bijection entreP(E)/S etP(E\A).
Exercice 15 – SoientE un ensemble etR,S deux relations d’équivalence surE vérifiant : pour tout x et tout y∈E, xRy⇒xSy. Si x∈E, on note xsa classe pour la relation R.
1) Montrer que l’on peut définir de façon licite une relation S0 sur E/R par : xS0y⇔xSy.
2) Montrer que S0 est une relation d’équivalence.
3) Établir une bijection entre (E/R)/S0 etE/S.