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montrer qu’il existe un facteur premierπ dex tel que (π)⊂I puis que I est principal

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

EXAMEN FINAL

ALG `EBRE 1

1

Soitmun entier qui n’est pas un carr´e et soitA=Z[√

m]. Le but de cet exercice est de montrer que siA est factoriel, alors il est principal. On suppose donc dans tout l’exercice que A est factoriel.

1.1. V´erifier que A est un anneau int`egre et noeth´erien.

1.2. Soit I un id´eal non nul de A. Montrer qu’il existed1 etd2 deux entiers ≥1 tels que A/I 'Z/d1Z⊕Z/d2Z en tant que Z-modules.

1.3. Montrer que tout anneau commutatif int`egre fini R est un corps puis que si l’id´eal I de la question pr´ec´edente est premier, alors I est n´ecessairement maximal.

1.4. On suppose que I est premier et que x ∈ I \ {0}; montrer qu’il existe un facteur premierπ dex tel que (π)⊂I puis que I est principal.

1.5. On suppose maintenant que I est un id´eal quelconque de A. Montrer qu’il existe a etb ∈A tels que I = (a, b).

1.6. Montrer que siaetbn’ont pas de facteur commun, alorsI =A(on pourra consid´erer un id´eal maximal contenant I). En d´eduire que A est un anneau principal.

2

Soit pun nombre premier,q une puissance dep,P un sous-groupe de GLn(Fq) dont le cardinal est une puissance de p et soit U le sous-groupe de GLn(Fq) form´e des matrices triangulaires sup´erieures ayant des 1 sur la diagonale :

U =

1 ∗ ∗

0 . .. ∗

0 0 1

∈GLn(Fq)

 .

On note V =Fnq ce qui fait que GLn(Fq) agit naturellement sur V.

2.1. Montrer qu’il existe x ∈ V \ {0} tel que hx = x pour tout h ∈ P puis qu’il existe une base x1, . . . , xn de V telle que pour tout h∈P, on a h(xi)−xi ∈Vect(x1, . . . , xi−1).

Date: 18 janvier 2008.

1

(2)

2 ALG `EBRE 1

2.2. En d´eduire qu’il existe g ∈GLn(Fq) tel quegP g−1 ⊂U. 3

Soit G un groupe fini. On dit qu’un caract`ere χ de G est r´eel si χ(g) ∈ R pour tout g ∈Get on dit qu’une classe de conjugaison C estsym´etrique si on ag−1 ∈C pour tout g ∈C. Le but de l’exercice est de montrer que le nombre de caract`eres irr´eductibles r´eels deG est ´egal au nombre de classes de conjugaison sym´etriques de G.

3.1. Soit σ une permutation et Mat(σ) la matrice de permutation associ´ee. Montrer que le nombre de points fixes de σ est ´egal `a la trace de Mat(σ).

3.2. On noteX = (χi(gj))i,j la matrice de la table des caract`eres comme dans le §6.4 du poly et X1 la matrice des χi(gj) et X2 la matrice des χi(gj−1). Montrer qu’il existe deux permutationsσ1 et σ2 telles queX = Mat(σ1)X1 =X2Mat(σ2).

3.3. Montrer que X1 =X2 et conclure : le nombre de caract`eres irr´eductibles r´eels deG est ´egal au nombre de classes de conjugaison sym´etriques de G.

3.4. Montrer que tous les caract`eres irr´eductibles de Sn sont r´eels.

3.5. (plus dur). Montrer que si G est un groupe de cardinal impair, alors le seul ca- ract`ere irr´eductible r´eel est χ= 1.

4

Soit A un anneau commutatif int`egre dont on note K le corps des fractions et M un A-module. On noteMtor l’ensemble desm ∈M tels qu’il existea∈A\ {0}avecam= 0.

4.1. Montrer que Mtor est un sous-module deM et que MtorAK = 0.

4.2. Soit X l’ensemble des paires (m, a) avec m ∈ M et a ∈ A\ {0} et ∼ la relation d’´equivalence (m1, a1)∼(m2, a2) s’il existe a∈A\ {0} tel queaa1m2 =aa2m1. On note MK =X/∼ etm/a l’image de (m, a) dans MK.

V´erifier que les formules b ·m/a = bm/a et m1/a1 +m2/a2 = (a2m1 +a1m2)/a1a2 d´efinissent bien une structure deA-module sur MK.

4.3. Montrer que les A-modulesMK etM ⊗AK sont naturellement isomorphes.

4.4. Montrer que si Mtor = 0, alors l’application naturelle M →M ⊗AK est injective.

4.5. Si Gest un groupe ab´elien de type fini, d´eterminer G⊗ZQ.

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