MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit ϕ : R → R la fonction donnée par ϕ(t) = sin 2t . On considère la suite dénie par récurrence par son premier terme u 0 puis par u n+1 = ϕ(u n ) .
On dénit les intervalles I =]0, π 4 ] et J = [ π 4 , 1] . 1. a. Etudier la convexité de ϕ sur [0, 1] .
b. Montrer que pour tout t ∈ I , on a
ϕ(t) ≥ 4 π t.
c. Montrer que pour tout t ∈ J
−k ≤ ϕ 0 (t) ≤ 0
où k = |2 cos 2| . En déduire que ϕ est k -lipschitzienne sur J . (Utiliser la concavité.) 2. On suppose u 0 ∈ J . Etudier la convergence de (u n ) .
3. On suppose u 0 ∈ [0, 1] . Etudier la convergence de (u n ) . On soignera le dessin.
4. Etudier la convergence de (u n ) pour tout u 0 .
Soit ϕ α,β la fonction dénie sur ]0, 1[ par ϕ α,β (t) = t α | ln t| β . Soit E = {ϕ α,β :]0, 1[→ R | (α, β) ∈ R 2 }.
On dénit un relation sur E par ϕ α,β ϕ α
0,β
0si et seulement si ϕ α,β = O(ϕ α
0,β
0) au voisinage de 0 + .
1. Montrer que est une relation d'ordre.
2. Montrer que ϕ α,β ϕ α
0,β
0si et seulement si (α, β) est supérieur à (α 0 , β 0 ) dans l'ordre lexicographique.
3. Trouver un équivalent proportionnel à une fonction de E pour chacune des fonctions suivantes :
t t − 1 t (t
t) (1 − cos t) sint − 1.
Soit E k = D k ( R , R ) l'espace vectoriel des fonctions k fois dérivables sur R. Soit F = F( R , R ) . Soient a et b deux réels tels que a < b .
On note Φ : E k → E k−1 l'application dénie par Φ(f ) : x 7→ xf 0 (x) . On désigne aussi par Φ a et Φ b respectivement les applications Φ a = Φ − a Id et Φ b = Φ − b Id .
Soit Ψ : E 2 → F donnée par Ψ = Φ a ◦ Φ b . 1. Montrer que Ψ est linéaire.
2. Soit S le sous-ensemble de E 2 formé des fonctions vériant l'équation
x 2 f 00 (x) + (1 − a − b)xf 0 (x) + abf(x) = 0. (1) Montrer que S est un sous-espace vectoriel de E 2 .
3. Montrer que S = Ker Ψ . En déduire une nouvelle démonstration de la question précé- dente.
4. a. Justier Φ a ◦ Φ b = Φ b ◦ Φ a .
b. Exprimer Φ a − Φ b en fonction de Id E
2, de a et de b .
c. Montrer que si y ∈ S , alors Φ a (y) ∈ Ker Φ b et Φ b (y) ∈ Ker Φ a . d. Montrer que S = Ker Φ a ⊕ Ker Φ b .
5. En déduire les solutions de (1) sur R ∗ + et R ∗ − .
6. A quelles conditions sur a et b les solutions sur R ∗ + et R ∗ − se prolongent-elles en une solution dénie sur tout R ? A quelles conditions existe-t-il une solution non-nulle ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
