Montrer que(an)n∈N∗ est monotone, en déduire sa convergence

MPSI B DM 7 10 janvier 2020

Exercice 1

On dénit, pour tout entiern≥1, une fonctionf_n deRdansRen posant

∀x∈R, f_n(x) =xⁿ+xⁿ⁻¹+· · ·+x²+x−1

1. Montrer qu'il existe un unique réela_n strictement positif tel quef_n(a_n) = 0. 2. Montrer que(an)n∈N^∗ est monotone, en déduire sa convergence.

3. Montrer quea2∈]0,1[. En déduire la convergence et la limite de (aⁿ⁺¹_n )_n∈N^∗

puis la limitel de(an)_n∈N^∗.

On pourra montrer quean= ¹₂(1 +aⁿ⁺¹_n ).

4. Préciser, suivantx∈]0,1[et x6= ¹₂, la limite de (f_n(x))_n∈N^∗. En déduire directement, sans utiliser 2 la convergence et la limitel de(an)_n∈N^∗.

Pour toutε >0, on pourra considérer les suites fn(¹₂ −ε)

n∈N^∗ et fn(¹₂+ε)

n∈N^∗. 5. Trouver un équivalent simple à la suite(an−l)_n∈N^∗.

On pourra étudier d'abord la limite de((2an)ⁿ⁺¹)_n∈N^∗. Exercice 2

Soituun réel strictement positif, la suite(un)_n∈Nest dénie par les relations u0=u, ∀n∈N: un+1= ln(1 +un).

Soitλun réel non nul, la suite(vn)_n∈Nest dénie par

∀n∈N: vn =u^λ_n+1−u^λ_n.

1. Former le tableau de variation de la fonctionx→ln(x+ 1)−x.

Soit (xn)_n∈N une suite qui converge vers 0. Préciser (sans démonstration) des suites équivalentes pour(e^xn−1)_n∈N et(ln(1 +xn)−xn)_n∈N

2. Soit(w_n)_n∈Nune suite de réels qui converge vers un nombreC non nul. Montrer que w₁+w₂+· · ·+w_n∼n C.

(rédiger la démonstration)

3. Les suites(u_n)_n∈Net (v_n)_n∈N sont-elles bien dénies ?

4. Montrer que(un)n∈Nconverge, préciser sa limite.

5. A-t-onun+1 ∼un? Justier.

6. Montrer que

vn∼ −λ 2u^λ+1_n . On pourra utiliser que, pourxau voisinage de0,

ln(1 +x) =x−x²

2 +o(x²).

7. En utilisant une valeur deλbien choisie, trouver un équivalent simple deun.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai M0307E