3. Montrer que = 2 . Déduire de cette égalité et de la précédente que E, B et D sont alignés.

GUESMIA AZIZA Série corrigée Chap. Calcul vectoriel Page 1/4 Exercice 1

Soit un triangle ABC.

1. Construire les points D et E vérifiant : = + 2 et = + . 2. Montrer que = . Que peut-on en déduire géométriquement ?

3. Montrer que = 2 . Déduire de cette égalité et de la précédente que E, B et D sont alignés.

4. Soit I le milieu de [AB]. Justifier que + = 2 . Qu’en déduire pour les droites (AE) et (CI) ? Correction

1. A

B C

2. BD uuur = uuur BA + uuur AD = BA uuur + uuur BC + 2 uuur AB = uuur AB + uuur BA + uuur AB + uuur BC = uuur AC . On en déduit que ABDC est un parallélogramme.

3. BE uuur = BA uuur + uuur AE = uuur BA + CB CA uuur + uuur = CB uuur + BA uuur + CA uuur = CA uuur + CA uuur = 2 CA uuur . On en déduit que BE uuur = 2 CA uuur = − 2 uuur AC = − 2 uuur BD

: BE uuur

et BD uuur

sont donc colinéaires, les points E, B et D sont alignés.

4. Comme I est le milieu de [AB], on a : IA uur + IB uur = 0 r . D’où CA CB uuur + uuur = CI uur + uur IA CI + uur + uur IB = 2 CI uur + uur IA + IB uur = 2 CI uur

. On en déduit que, comme AE uuur = CB CA uuur + uuur

= CA uuur + CB uuur

, alors uuur AE = 2 CI uur

. 2

AE = CI uuur uur

donc AE uuur

et CI uur

sont colinéaires. Les droites (AE) et (CI) sont parallèles.

Exercice 2

Soit ABCD un carré, E le milieu de [AB], F le milieu de [AD]. On pose AE = 1.

1. Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans le repère (A ; AE AF , )

uuur uuur .

2. a. Ecrire l’équation de la droite (BF).

b. Soit ( ; ) . Montrer que G appartient à la droite (BF).

3. Montrer que les points D, E et G sont alignés.

4. Que représente G pour le triangle ABD ? Justifier.

5. Que peut-on en déduire sur la droite (AC) ? Justifier.

G

E F

D C

A B Correction

1. A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 2), D (0 ; 2), E (1 ; 0) et F (0 ; 1).

2. a. Soit M ( ; ) un point du plan ; M ∈ (BF) signifie que les vecteurs et sont colinéaires.

et sont colinéaires ⇔ − 2 0 − 2

− 0 1 − 0 = 1( − 2) − (−2) = + 2 − 2 = 0 ; D’où une équation de la droite (BF) : + 2 − 2 = 0 .

b. On remplace x et y par les coordonnées de G : + 2 × − 2 = 0 ; on déduit que G appartient à la droite (BF).

3. Pour montrer que les points D, E et G sont alignés on peut monter que les vecteurs et sont colinéaires.

" et #

% !

& ; det ( ; ) = ' 1 − 0 − 1

0 − 2 − 0 ' = 1 × – (−2) × ) − 1* = 0 donc les points D, E et G sont alignés

4. (DE) est une médiane puisque E est le milieu de [AB], de même (BF) est une médiane donc G est le centre de gravité du triangle ABD.

5. (AC) est la troisième médiane puisqu’elle passe par le centre du carré, soit par le milieu de [DB]. A, G et C sont alignés.

En fait la droite (AC) a pour équation y = x qui contient évidemment G.

Exercice 3

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; + ; , ), on considère les points : 4 ; −2"; −4 ; −1"; (2 ; 8) et / −2 ; 2".

Lycée Nafta Série corrigée Chap.7 Calcul vectoriel

Classe : 2

Sciences Octobre 2016

Prof : GUERSMIA AZIZA

GUESMIA AZIZA Série corrigée Chap. Calcul vectoriel Page 2/4 1. Faire une figure et montrer que les points B, C et H sont alignés.

2. a. Calculer les distances AH, BH et AB.

b. Démontrer que le triangle AHB est rectangle en H.

3. Calculer l’aire du triangle ABC.

4. Soit (D) la droite qui passe par A et qui est parallèle à (BC).

a. Déterminer une équation de (D).

b. Le point )7 ;

* appartient-il à (D) ? c. Quelle est l’aire du triangle BCE ? Correction

H E

C

B

A y

j

i x

O

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; + ; , ), on considère les points 4 ; −2"; −4 ; −1"; (2 ; 8) et

/ −2 ; 2".

1. B, C et H sont alignés : det ( ; / ) = 32 + 4 −2 + 4 8 + 1 2 + 1 3 = 0 .

2. a. AH = − − ( 2 4)

+ + (2 2)

= 36 16 + = 52 , BH = − + ( 2 4)

+ + (2 1)

= 4 9 + = 13 ,

2 2

( 4 4) ( 1 2) 64 1 65

AB = − − + − + = + = .

b. Pythagore dans AHB : AH

+ BH

= 52 13 + = 65 = AB

3. Le triangle ABC a pour base BC et pour hauteur AH. Il suffit donc de calculer BC :

2 2

(2 4) (8 1) 36 81 117

BC = + + + = + = d’où l’aire du triangle ABC : 1 1

. 52. 117 39

2 AH BC = 2 = .

4. a. (D) passe par A et est parallèle à (BC). Soit M ( ; ) un point du plan ; M ∈ (BC) signifie que les vecteurs et sont colinéaires.

det ( ; ) = + 2 9 = 9( − 4) − 6( + 2) = 0; ^{− 4 6} une équation de la droite (D). 3 − 2 − 16 = 0 . c. E(7 ;

) appartient à (D) ? 3 × 7 − 2 ×

− 16 = 0 : on déduit que E(7 ;

) appartient à (D).

d. L’aire du triangle BCE est la même que celle du triangle ABC… (même base BC et même hauteur AH).

Exercice 4

Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points E et F tels que , 3 . 2

1 AB AF AD

BE = =

Faire une figure.

b) Démontrer que : CE = AB + DA 2

1 et que : 3 .

2

3 BA DA

EF = +

En déduire que les points C, E et F sont alignés.

GUESMIA AZIZA Série corrigée Chap. Calcul vectoriel Correction

a)

7) = + = + 1

2

De même, = + + =

c) = + 3 donc − =

3 = − . Par suite les vecteurs

Exercice 5 : Les questions sont indépendantes Dans un repère on donne A (- 2 ; 1 ), B (3

(- 1 ; y).

1) Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles 2) Les points C, D et T sont-ils alignés

3) Calculer le réel y tel que C, K et A soient alignés.

4) Calculer les coordonnées du point M tel que

5) Calculer les coordonnées du point E symétrique de T par r points E, R, B sont-ils alignés ?

Correction

On a )−3 −4* 89 ) 2 −2*. Donc on voit que et les droites (AC) et (BD) ne sont pas

1) On a : )−5 −2* 89 )−10 −4 *. Donc on voit que C sont alignés (voire même, T est le milieu de [DC]).

2) On a )−3 −4* 89 < = 1

− 1>. Or on aura A, K et C alignés ssi

−3( − 1) − (−4) × 1 = 0. On résout cette équation 3) On a =−2 − 1 − > 89 =3 − 3 −

nulles. Or ce vecteur a pour coordonnées

? 5 − 5 = 0 11 − 5 = 0 @. Par suite on a donc )

E sera symétrique de T par rapport à C ssi C est le milieu de [ET]. D’où les coordonnées de E R milieu de [AC] donc R )−

; −1*. On a

colinéaires et les points E, R et B sont alignés (voire même, R est le milieu de [EB]).

Exercice 6 :

Soit ABC un triangle quelconque. A’ le milieu de [ 1

CD uuur = 3 uuur AB

et 1

BE = 3 AC uuur uuur

. On note I

1. a. Montrer que 2 2

3 3

AI = AB + AC

uur uuur uuur

. b. Exprimer AA '

uuuur

en fonction de AB uuur

et

c. Démontrer que les points A, A’ et I sont alignés.

2. Démontrer que le point G est le milieu de [

GUESMIA AZIZA Série corrigée Chap. Calcul vectoriel

+ + 3 = + 3

+ 3 . Or = + , donc 3 = 3

Par suite les vecteurs et sont colinéaires, donc les points C, E et F sont alignés.

Les questions sont indépendantes

; 1 ), B (3 ; 3), C(- 5 ; - 3), D(5 ; 1) et T (0 ; - 1). On nomme K le point de coordonnées elles parallèles ?

ils alignés ?

tel que C, K et A soient alignés.

Calculer les coordonnées du point M tel que 2 + 3 = 0.

Calculer les coordonnées du point E symétrique de T par rapport au point C. Le point R est le milieu de [AC]. Les

Donc on voit que (−3) × (−2) − (−4) × 2 B 0 . D’où ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.

Donc on voit que = 2 : . D’où ces vecteurs sont colinéaires et les points D, T et C sont alignés (voire même, T est le milieu de [DC]).

> Or on aura A, K et C alignés ssi 89 < sont colinéaires. C'est On résout cette équation : −3 + 3 + 4 = 0, −3 = −7, DEFG

= >. Donc on aura 2 + 3 = 0 ssi les coordonnées du vecteur somme sont ecteur a pour coordonnées : 2 + 3 =−4 − 2 + 9 − 3 = 5 − 5 2 − 2 + 9 − 3 = 11 − 5 >. D’où le système

)1;

*.

E sera symétrique de T par rapport à C ssi C est le milieu de [ET]. D’où les coordonnées de E

* On a H #

4 & 89 )13 8 *. Donc on voit que H = colinéaires et les points E, R et B sont alignés (voire même, R est le milieu de [EB]).

’ le milieu de [BC], G le centre de gravité du triangle, D I le milieu de [DE].

uuur et AC

uuur . sont alignés.

est le milieu de [AI].

Page 3/4 + . D’où sont colinéaires, donc les points C, E et F sont alignés.

1). On nomme K le point de coordonnées

apport au point C. Le point R est le milieu de [AC]. Les

. D’où ces vecteurs ne sont pas colinéaires

. D’où ces vecteurs sont colinéaires et les points D, T et

sont colinéaires. C'est-à-dire ssi : =

.

ssi les coordonnées du vecteur somme sont

> D’où le système :

E sera symétrique de T par rapport à C ssi C est le milieu de [ET]. D’où les coordonnées de E (-10 ; -5).

. D’où ces vecteurs sont

et E les points tels que

GUESMIA AZIZA Série corrigée Chap. Calcul vectoriel Page 4/4 3. Prouver que les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Correction

(On utilise un repère)

I

E D

G

A' C

A B

1. a. Prenons le repère ( ^{A AB AC ; uuur uuur ,} ) où A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et C(0 ; 1).

Des données de construction on tire que 1 1 ; 3 E  

 

  ^et

1 ; 1 D  3 

 

  ^{, soit} 2 2 ; I  3 3 

 

  ou encore 2 2

3 3

AI = AB + AC

uur uuur uuur

. b. Les coordonnées de A’ sont 1 1

' ; A  2 2 

 

  ^d’où

1 1

' 2 2

AA = AB + AC

uuuur uuur uuur

.

c. Calculons le déterminant des vecteurs : ^det ( ^{uuuur uur AA AI ',} ) ^{= 1 / 2} _{1 / 2} ^{2 / 3} _{2 / 3} ^{= 0}

On peut également remarquer que 3 4

2 ' '

2 3

AA = AB + AC = AI ⇔ AI = AA

uuuur uuur uuur uur uur uuuur

. 2. Les coordonnées de G sont 1 1

3 3 ; G  

 

  ^{d’où AI = 2 AG} uur uuuur

et G est le milieu de [AI].

3. ( )

1 2

0 1 1 1

2 2

3 3

det , 0

1 2 3 3

1 0 1 1

3 3

BC ED

− − − −

= = = − + =

− −

uuur uuur

donc les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Exercice 4 Correction en classe

Soit (O ; + ; , ), un repère orthonormé du plan. (Aucun schéma n'est demandé) On considère les points (0 , 4) ; (−2 , 0) et (6 , 1) .

1) Montrer que ( ; ) est une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

2) a) Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux.

b) Déduire la nature du triangle ABC.

3) Soit D (−6,7) . Les points A, C et D sont-ils alignés ?

4) Calculer les distances BC et BD. Déduire que le point B appartient à la médiatrice du segment [CD].