ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 4h 10 avril 2019 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. a. Donner la base canonique Bde M3,1(R). b. Quelles sont les coordonnées du vecteur u=
−5
−1 6
dans la baseB? 2. Montrer que E=
x y z
∈ M3,1(R)
2x−4y+z= 0
est un s.e.v. de M3,1(R).
3. On considère la famille de vecteurs F =
1 0
−2
;
0 1 4
. a. Est-ce une base deM3,1(R)? Justier.
b. Expliquer brièvement pourquoi la famille F est libre.
c. En déduire une baseB0 et la dimension du s.e.v. G=V ect(F).
d. Le vecteuru appartient-il àG? Si oui, quelles sont ses coordonnées dans la baseB0 de G? Exercice II.
Soit la fonctionf dénie surR+ par f(x) =
x3ln(x) si x >0 0 si x= 0 . 1. Justier brièvement que f ∈ C∞(R∗+).
2. Montrer quef est continue en0. Que peut-on alors en déduire ? 3. Pourx >0, montrer que f0(x) =x2(3 ln(x) + 1).
4. f est-elle dérivable en0? Justier.
5. Etudier les variations de f surR+. 6. Etudier la convexité de f surR+. Exercice III.
Les propriétés de l'intégrale utilisées dans cet exercice devront être citées.
Soit, pourn∈N, In= Z 1
0
tne−2tdt. 1. Calculer I0.
2. a. Montrer que ∀n∈N, In≥0. b. Montrer que ∀n∈N, In≤ 1
n+ 1. (On pourra majorer e−2t.) c. En déduire lim
n→+∞In.
3. a. Montrer que ∀n∈N, In+1= n+ 1
2 In−e−2
2 . (On pourra eectuer une IPP.) b. En déduire que ∀n∈N, In= n!
2n+1 1− 1 e2
n
X
k=0
2k k!
!
. (On raisonnera par récurrence.)
c. En utilisant les résultats des questions 2c. et 3b. retrouver alors la valeur de
+∞
X
k=0
2k k!. 4. Créer un programme Scilab calculant une valeur approchée deIn. (méthode au choix)
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Exercice IV.
On eectue une succession innie de lancers indépendants d'une pièce donnant Pile avec la probabilitép∈]0,1[
et Face avec la probabilitéq = 1−p.
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.
On dit que la première série est de longueurn∈N∗ si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)e l'autre côté.
De même la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté.
Exemple : si les premiers lancers donnent "PPPP FFF P...", alors la première série est de longueur 4 et la deuxième série est de longueur 3.
On dénit les évènements :
An={la1ere série est de longueurn}, pour n∈N∗. Bm ={la 2e série est de longueurm}, pour m∈N∗. Pk={leke lancer donne Pile} et Fk =Pk, pour k∈N∗. Partie A. Première série.
1. Exprimer An en fonction des évènements élémentaires Pk etFk, pourk variant entre1etn+ 1.
2. En déduire que P(An) =pnq+qnp.
3. Vérier que
+∞
X
n=1
P(An) = 1. 4. Que cela signie-t-il ?
5. Calculer la quantité E =
+∞
X
n=1
n.P(An), dont on admet qu'elle correspond à la longueur moyenne (encore appelée espérance) de la première série.
Partie B. Deuxième série.
1. Exprimer l'événement An∩Bm à l'aide des événementsPk etFk pour kvariant entre 1etn+m+ 1. 2. Calculer P(An∩Bm).
3. En utilisant la formule des probabilités totales, en déduire que pourm∈N∗, P(Bm) =p2qm−1+q2pm−1. 4. Vérier que
+∞
X
m=1
P(Bm) = 1.
5. Montrer que
+∞
X
m=1
m.P(Bm) = 2. 6. Interpréter ce dernier résultat.
Exercice V.
On rappelle que si f est continue sur [a;b], alors lim
n→+∞
b−a n
n−1
X
k=0
f
a+kb−a n
= Z b
a
f(t)dt. Calculer alors K= lim
n→+∞
1 n
n−1
X
k=0
k2 n2
2
