EPFL ALG `EBRE LIN ´EAIRE
Institut de Math´ematiques GC/SIE
Dr A. Prodon HIVER 2004/2005
TEST 1
Ce test est un travail individuel. Il commence ` a 10h15 et se termine
`
a 12h00. Vous avez droit ` a toute documentation ´ ecrite, ainsi qu’` a une machine ` a calculer. Notez sur chaque feuille votre nom, pr´ enom et section.
Ecrivez lisiblement et explicitez vos calculs. ´
Exercice 1 (12 points)
D´eterminer en fonction de la valeur du param`etre r´eel λ l’ensemble des solutions du syst`eme A~x=~b, avec
A=
1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 2 λ
~b=
1 1 λ
Exercice 2 (12 points)
Soit A=E41(2)E2(−2)E32(−1)
1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
.
a) Expliquer sans calculs pourquoi Aest inversible.
b) Donner une d´ecomposition LU de A.
c) Donner une d´ecomposition de A−1 en produit de matrices ´el´ementaires.
d) D´eterminer det(A7).
Exercice 3 (12 points)
Soit A=
−1 1 2 −3 −1
1 0 α 1 0
1 0 1 2 −1
1 0 1 3 2
1 0 1 4 3
. Calculer det(A) en fonction de α∈R.
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Exercice 4 (15 points)
R´epondre par Vraiou Fauxen justifiant les r´eponses.
a) Pour tout n≥1, le nombre de permutations paires sur n´el´ements est ´egal au nombre de permutations impaires surn´el´ements.
b) Soienti,j ≤net Eij(β) la matrice n×n obtenue en ajoutant β fois la j-i`eme ligne `a la i-i`eme ligne deIn. Soit encore Aune matricem×nquelconque. Alors la matrice AEij(β) est la matrice obtenue en ajoutant β fois la i-i`eme colonne `a la j-i`eme colonne deA.
c) SoientAetB deux matricesm×mquelconques etC =AB+BA. AlorsC est une matrice sym´etrique.
d) SoitA une matrice inversible. AlorsA+I est inversible.
e) Soient Aune matrice m×net~b∈Rm. Alors l’ensemble des solutions du syst`emeA~x=~b avec~b6=~0 est un sous-espace vectoriel de Rn.
13 janvier 2005 – AP/gh
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