EPFL ALG`EBRE LIN´EAIRE
Institut de Math´ematiques GC/SIE
Dr A. Prodon HIVER 2005/2006
TEST 3
Ecrivez en majuscule votre NOM:
PRENOM:
SECTION:
Ce test est un travail individuel. Il commence ` a 10h15 et se termine ` a 12h00. Notez sur chaque feuille votre nom, pr´ enom et section. ´ Ecrivez lisiblement et explicitez vos calculs.
Probl`eme 1 10 points
Soit l’application lin´eaire
F :R5 → M2×2
~x 7→ F(~x) =
x1 x2
x1+x3 x5
a) Montrer queF est lin´eaire.
b) Donner la matriceA de F par rapport aux bases canoniques de R5 et M2×2. c) Donner une base du noyau deF.
d) Donner une base de l’image deF.
1
Probl`eme 2 (10 points) Soit Rn muni du produit scalaire euclidien et soitA=
1 2 0 0 2 1
et~b=
1 2 3
.
D´eterminer la meilleure approximation de~bpar un vecteur de C(A).
3
Soit la matrice
Q=
1 3 0 0 3 1 0 0 0 0 3 1 0 0 1 3
Diagonaliser orthogonalement la matriceQet donnerexplicitement les matricesP, Λ associ´ees ainsi que leur relation `a Q.
4
Probl`eme 4 10 points Soient les vecteurs suivants dans R3:
1 0 1
,
1 1 0
,
1 0 0
.
a) Donner un produit scalaire par rapport auquel ces vecteurs constituent une base ortho- norm´ee ordonn´ee.
b) Donner la projection orthogonale par rapport au produit scalaire particulier, du vecteur
~
x= [1 2 3]T dans le sous-espace de R3 engendr´e par les deux premiers vecteurs donn´es.
c) Que valent les normes des vecteurs de la base canonique de R3 par rapport `a ce produit scalaire?
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Indiquer si les affirmations ci-dessous sont VRAIES ou FAUSSES. D´emontrer ou donner un contre-exemple.
a) Quelle que soit l’application lin´eaire d’un espace vectoriel dans un autre, la dimension du noyau ne peut jamais ˆetre plus grande que celle de son image.
b) Dans Rn, muni du produit scalaire euclidien, on a ||P ~x|| = ||~x||, ∀~x ∈ Rn et pour toute matrice P, n×n, orthogonale.
c) Dans R3, toute matrice de rotation a une seule valeur propre r´eelle.
d) Toute matrice de projectionP, n×n, est sa propre inverse.
7 f´evrier 2006 – AP/am
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