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Exercice 1:
Soit f : [0; 6] → [0; 6] une fonction dont le graphe est repr´esent´e ci contre,
1. La fonctionf est-elle bijective ?
2. D´eterminer un intervalle I tel que la restriction def `a [0; 2], f|[0;2]: [0; 2]→I soit bijective.
3. La proposition suivante est-elle vraie ? On justi- fiera rapidement la r´eponse.
∀x1∈[4; 5],∃x2∈[0; 2];f(x1) =f(x2) 4. La proposition suivante est-elle vraie ? On justi-
fiera rapidement la r´eponse.
∃t∈[0; 2];∀x∈[0; 6]; |x−t| ≤1⇒ |f(x)−f(t)| ≤1 5. Repr´esenter sur le graphe ci-joint des r´eels
a, b∈]0; 6[ tels que f n’est pas d´erivable enb, et f0(a) = 0.
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Graphey=f(x)
Exercice 2: D´eterminerl1= lim
x→0+
2 + lnx
3−2 ln(x) etl2= lim
x→0
ln(1 + 2x)
5x etl3= lim
x→0
3 sin(x2) + ln(1 + 2x) 5x
Exercice 3: Calculer les trois int´egrales suivantes : I1=
Z 1
0
tdt I2= Z π2
0
tsintdt et I3= Z 4
1
e3
√t
√t dt (on pourra poseru=√ t)
Exercice 4: D´eterminer des DL2 en 0 des fonctions d´efinies par les formules :ex; 2 sinx; e2 sinx; ln(1 +x) ; ln(1−3x) En d´eduire la limite :
x→0lim
e2 sinxln(1−3x) + 3x x2
Exercice 5: Soitf la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ parf(x) =xe1x 1. Calculerf0(x).
2. Dresser le tableau de variations def. 3. D´eterminer la limite def en plus l’infini.
4. D´eterminer la limite `a droite def en 0.
5. Montrer que le graphe de f poss`ede une asymptote oblique au voisinage de +∞, et d´eterminer la position du graphe def par rapport `a cette asymptote pourxassez grand.
Exercice 6: Soitn∈N∗,g, hdeux fonctions d´efinies surR, d´erivables, et telles que∀x∈ R, h(x)6= 0, on pose
∀x∈R, f(x) = g(x)
hn(x)=g(x) h(x)−n
1. Rappeler la formule donnant la d´eriv´ee d’un produit de fonctions d´erivables (U V)0, et en d´eduire la formule
∀x∈R, f0(x) = g0(x)h(x)−ng(x)h0(x) hn+1(x)
2. Calculer la d´eriv´ee def(x) = (1+e1+x2x2)5, on pourra appliquer la formule pr´ec´edente en pr´ecisant bien les choix deg,h et n
