TES 1 DST 5 29 janvier 2015 Dur´ee 1 heure . Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et Pr´enom :
Exercice 1 : QCM : (15 minutes) . . . (5 points) Pour chacune des propositions propos´ees, une seule est exacte. Donner sans aucune justification l’affirmation vraie.
Attention, donner une r´eponse fausse enl`eve des points.
(1) L’´equation 2 + 3 lnx= 0 a pour solution A. 1
e23
B. ee23 C. −23
(2) La valeur exacte de ln(10e2) est A. 2 ln(10e) B. 4,302585093 C. ln(10) + 2 (3) On d´esigne parnun nombre entier naturel. L’in´egalit´e 0,7n60,01 est r´ealis´ee d`es que :
A. n>12 B. n613 C. n>13 (4) L’´equation 5e2x−2 admet comme solution :
A. ln 2
ln 52 B. ln 2−ln 5
2 C.
ln 2
5
ln 2
(5) Le nombre−3 est solution de l’´equation d’inconnue estx: A. lnx=−ln 3 B. ln(ex) =−3 C. elnx=−3
Exercice 2 : Calcul d’int´egrale (15 minutes) . . . (5 points) La courbe Cf ci-dessous est la repr´esentation graphique
d’une fonction f d´efinie et deux fois d´erivable sur l’en- semble des nombres r´eels.
Elle passe par le pointA 1 ; 4e0,5 . 1. Quel est le signe de f0(1) ? Justifier.
2. Que semble repr´esenter le point A pour la courbe Cf?
3. (a) Pr´eciser un domaine du plan dont l’aire est ´egale
` a I=
Z 3
0
f(x) dxunit´es d’aires.
(b) Hachurer ce domaine sur la courbe.
(c) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
56I69 106I612 206I624 −2. −1. 1. 2. 3. 4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
0 Cf
A
B
T
Exercice 3 : ´Etude d’une fonction (25 minutes) . . . .(10 points) Soitg la fonction d´efinie sur l’intervalle [1; 10] par :
g(x) = 1 +x2−2x2lnx.
(1) a. Montrer queg est strictement d´ecroissante sur l’intervalle [1; 10[.
b. D´emonter que l’´equationg(x) = 0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [1; 10]. Avec la calculatrice, d´eterminer un encadrement de αd’amplitude 10−3.
c. D´eterminer le signe de g(x) suivant les valeurs dex.
(2) Soitf la fonction d´efinie sur l’intervalle [1; +10] par : f(x) = lnx
1 +x2. a. Calculerf0(x) et montrer que, pour toutx>1, on a :
f0(x) = g(x) x(1 +x2)2.
b. D´eduire de la question 1, le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [1; 10].
(3) Une entreprise lance un nouvel accessoire de mode dont elle a le monopole. Pourxmilliers d’accessoires fabriqu´es, avec 16x610, elle estime que le b´en´efice moyen par accessoire en milliers d’euros estf(x).
Combien d’accessoires (`a l’unit´e) doit fabriquer l’entreprise pour avoir un b´en´efice moyen maximal.
