TS6 DS 5 21 janvier 2019 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom, pr´enom :
Exercice 1 : Pour s’´echauffer (15 minutes) (3 points)
1. D´eterminer le plus petit entiern tel que 0,3n<0,002.
2. ´Ecrire sous la forme ln(k) le nombre ln 3 + 3 ln 2−ln 5 + 1.
3. ´Ecrire 3e−iπ4 sous forme alg´ebrique.
4. D´eriver la fonction f d´efinie sur Rparf(x) = ln(x2−5).
Exercice 2 : Probl`eme nombres complexes (45 minutes) (8 points) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct
O ; −→
u , −→ v
. On prendra pour unit´e gra- phique le centim`etre.
1. R´esoudre dans Cl’´equation z2−2z+ 4
z2+ 4
= 0.
2. On consid`ere les points A et B d’affixes respectiveszA= 1 + i√
3 et zB = 2i.
a. Ecrire´ zA etzB sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on pr´ecisera le rayon.
b. Faire une figure et construire les points A et B.
c. D´eterminer une mesure de l’angle −−→
OA, −−→
OB
. 3. On note F le point d’affixe zF =zA+zB.
a. Placer le point F sur la figure pr´ec´edente. Montrer que OAFB est un losange.
b. En d´eduire une mesure de l’angle −−→
OA, −−→
OF
puis de l’angle −→ u , −−→
OF .
c. Calculer le module dezF et en d´eduire l’´ecriture de zF sous forme trigonom´etrique.
d. En d´eduire la valeur exacte de :
cos 5π
12
.
4. Deux mod`eles de calculatrice de marques diff´erentes donnent pour l’une : cos
5π 12
=
p2−√ 3 2 et pour l’autre :
cos 5π
12
=
√6−√ 2
4 .
Ces r´esultats sont-ils contradictoires ? Justifier la r´eponse.
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Exercice 3 : Probl`eme ln (35 minutes) (51/2 points)
On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]0 ; +∞[ par
f(x) = lnx2
x .
On note C la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer la limite en 0 de la fonction f et interpr´eter graphiquement le r´esultat.
2. a. D´emontrer que, pour tout x appartenant `a ]0 ; +∞[,
f(x) = 4 ln √ x
√x
!2
.
b. En d´eduire que l’axe des abscisses est une asymptote `a la courbe repr´esentative de la fonctionf au voisinage de +∞.
3. On admet que f est d´erivable sur ]0 ; +∞[ et on notef0 sa fonction d´eriv´ee.
a. D´emontrer que, pour tout x appartenant `a ]0 ; +∞[, f0(x) = ln(x) 2−ln(x)
x2 .
b. Etudier le signe de´ f0(x) selon les valeurs du nombre r´eel x strictement positif.
c. Calculerf(1) et f e2 .
On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonctionf au voisinage de+∞.
3. On admet quef est dérivable sur ]0 ;+∞[ et on notef′sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour toutxappartenant à ]0 ;+∞[,
f′(x)=ln(x)!
2−ln(x)"
x2 .
b. Étudier le signe def′(x) selon les valeurs du nombre réelxstrictement positif.
c. Calculerf(1) etf!e2".
On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.
x 0 1 e2 +∞
+∞ 4
e2 f(x)
0 0
4. Démontrer que l’équation f(x)=1 admet une unique solutionαsur ]0 ;+∞[ et donner un encadrement deαd’amplitude 10−2.
Exercice 3(3 points) Commun à tous les candidats
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Soit la fonctionf définie sur l’ensemble des nombres réels par f(x)=2 ex−e2x etC sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet que, pour toutxappartenant à [0 ; ln(2)], f(x) est positif.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition A :
L’aire du domaine délimité par les droites d’équationsx=0 etx=ln(2), l’axe des abscisses et la courbeC est égale à 1 unité d’aire.
Partie B
Soitnun entier strictement positif.
Soit la fonctionfndéfinie sur l’ensemble des nombres réels par fn(x)=2nex−e2x etCnsa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet quefnest dérivable et queCnadmet une tangente horizontale en un unique point Sn.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition B :
Pour tout entier strictement positifn, l’ordonnée du pointSnestn2.
Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna 2 28 novembre 2017
4. D´emontrer que l’´equation f(x) = 1 admet une unique solutionαsur ]0 ; +∞[ et donner un encadre- ment deα d’amplitude 10−2.
Exercice 4 : Petit probl`eme complexe (20 minutes) (31/2 points) 1. Donner les formes exponentielle des nombres complexes 1 + i et 1−i.
2. En d´eduire les formes trigonom´etriques de (1 +i)n et (1−i)n 3. Pour tout entier natureln, on pose
Sn= (1 + i)n+ (1−i)n.
Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la r´eponse.
Une r´eponse non justifi´ee ne sera pas prise en compte et l’absence de r´eponse n’est pas p´enalis´ee.
Affirmation A: Pour tout entier naturel n, le nombre complexeSn est un nombre r´eel.
Affirmation B: Il existe une infinit´e d’entiers naturels ntels que Sn= 0.
