Exercice 1 : Graphique (10 minutes) (4 points) La courbe Cf ci-contre repr´esente une fonction f d´efinie et d´erivable surR

T 5/11 DS 4 19 d´ecembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Graphique (10 minutes) (4 points)

La courbe Cf ci-contre repr´esente une fonction f d´efinie et d´erivable surR. On a trac´e la tangenteT `a Cf au pointA(1; 4).

1. D´eterminer f⁰(1)

2. Cf admet-elle des points d’inflexion ? Pr´eciser ce point.

3. ´Etudier la convexit´e et la concavit´e de f.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1 1 2 3 4 5

0 Cf

A

T

Solution:

1. f⁰(1) =−1

2. Oui elle admet Acomme pont d’inflexion. La tangente coupe la courbe en 2.

3. Elle est concave sur ]− ∞; 1[ puis convexe sur ]1; +∞[.

Exercice 2 : Probabilit´e (20 minutes) (8 points)

Une enquˆete a ´et´e r´ealis´ee aupr`es des ´el`eves d’un lyc´ee afin de connaˆıtre leur sensibilit´e au d´eveloppement durable et leur pratique du tri s´electif.

L’enquˆete r´ev`ele que 70 % des ´el`eves sont sensibles au d´eveloppement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au d´eveloppement durable, 80 % pratiquent le tri s´electif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au d´eveloppement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent le tri s´electif. On interroge un ´el`eve au hasard dans le lyc´ee. On consid`ere les ´ev`enements suivants :

S : L’´el`eve interrog´e est sensible au d´eveloppement durable.

T : L’´el`eve interrog´e pratique le tri s´electif.

Les r´esultats seront arrondis `a 10⁻².

1. Construire un arbre pond´er´e d´ecrivant la situation.

2. Calculer la probabilit´e que l’´el`eve interrog´e soit sensible au d´eveloppement durable et pratique le tri s´electif.

3. Montrer que la probabilit´e P(T) de l’´ev`enementT est 0,59.

4. On interroge un ´el`eve qui ne pratique pas le tri s´electif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au d´eveloppement durable sont inf´erieures `a 10 % ?

5. On interroge successivement et de fa¸con ind´ependante quatre ´el`eves pris au hasard parmi les ´el`eves de l’´etablissement.

On admet que le nombre d’´el`eves est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage `a un tirage avec remise.

Soit X la variable al´eatoire qui donne le nombre d’´el`eves pratiquant le tri s´electif parmi les 4 ´el`eves interrog´es.

(a) Justifier que la variable al´eatoire X est une loi binomiale on d´eterminera les param`etres.

(b) Calculer la probabilit´e qu’aucun des quatre ´el`eves interrog´es ne pratique le tri s´electif.

(c) Calculer la probabilit´e qu’au moins deux des quatre ´el`eves interrog´es pratiquent le tri s´electif.

T 5/11 DS 4 Page 2 sur 3 Solution:

1.

S¯

T¯ 0,9

T 0,1

0,3

S

T¯ 0,2

T 0,8

0,7

2. P(S∩T) = 0,7×0,8 = 0,56. La probabilit´e que l’´el`eve interrog´e soit sensible au d´eveloppement durable et pratique le tri s´electif est 0,56.

3. D’apr`es la formule des probabilit´es totales,P(T) =P(S)×P_S(T) +P( ¯S)×PS¯(T) = 0,56 + 0,3× 0,1 = 0,59

4. On cherchePT¯(S).

PT¯(S) = P(S∩T¯)

P( ¯T) = 0,7×0,2

1−0,59 ≈0,34.

Les chances qu’il se dise sensible au d´eveloppement durable ne sont pas inf´erieures `a 10%.

5. (a) Interroger un ´el`eve est une ´epreuve de Bernoulli de succ`esl’´el`eve pratique le tri s´electif. On observe la r´ep´etition de quatre ´epreuves identique et ind´ependantes.

Xest la variable al´eatoire comptant le nombre de succ`es,Xsuit la loi binomiale de param`etre 4 et 0,59.

(b) P(X = 0) = 0,41⁴ ≈0,03. La probabilit´e qu’aucun des ´el`eves ne pratique le tri s´electif est de 0,03

(c) P(X >2)≈0,81 `a la calculatrice. La probabilit´e qu’au moins deux des quatre ´el`eves inter- rog´es pratiquent le tri s´electif est de 0,81.

Exercice 3 : ´Etude d’une fonction (15 minutes) (5 points)

Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [2; 5] par f(x) = (3−x)e^x+ 1.

1. Montrer que pout tout r´eel x appartenant [2; 5],f⁰(x) = (2−x)e^x. 2. ´Etudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle [2; 5].

3. Exprimerf⁰⁰(x) en fonction de x.

4. En d´eduire la convexit´e et la concavit´e def sur cet intervalle.

Solution:

1. f⁰(x) =−e^x+ (3−x)e^x= (2−x)e^x

2. f⁰ est du signe de 2−x puisque e^x>0 pourx∈R.

Doncf est strictement croissante sur ]− ∞; 2[ et strictement d´ecroissante sur ]2; +∞[.

3. f⁰⁰(x) =−e^x+ (2−x)e^x = (1−x)e^x.

4. f⁰⁰(x) est du signe de (1−x) puisque e^x >0 pourx∈R. Doncf est convexe sur ]− ∞; 1[ puis concave sur ]1; +∞[.

Exercice 4 : Graphique 2 (10 minutes) (3 points)

Dans le rep`ere orthogonal ci-dessous trois courbesC1,C2 etC3 ont ´et´e repr´esent´ees. L’une de ces courbes repr´esente une fonction f, une autre f<sup>0</sup> et une troisi`eme repr´esente sa d´eriv´ee seconde.

Expliquer comment ces repr´esentations graphiques permettent de d´eterminer la convexit´e de la fonction f.

Indiquer sur lequel la fonctionf est convexe.

T 5/11 DS 4 Page 3 sur 3

Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.

1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.

2. Écrire la matriceMde transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C).

3. On donne

M²=

⎛

⎝0,42 0,22 0,36 0,19 0,27 0,54 0,28 0,04 0,68

⎞

⎠ et M²⁰≈

⎛

⎝0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625

⎞

⎠.

CalculerN2. Interpréter le résultat obtenu.

4. CalculerN₀×M²⁰. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse.

5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instantt=0, le site C est donc infecté.

a. Quelle est la probabilité qu’à l’instantt=1 le site A soit infecté ?

b. Quelle est la probabilité qu’à l’instantt=2 les trois sites soient infectés ?*

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

On s’intéresse à la fonctionf définie surRpar

f(x)= −2(x+2)e^−x.

Partie A

1. Calculerf(−1) et en donner une valeur approchée à 10⁻²près.

2. Justifier quef^′(x)=2(x+1)e^−xoùf^′est la fonction dérivée def. 3. En déduire les variations de la fonctionf.

Partie B

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbesC1,C2etC3ont été représentées.

L’une de ces courbes représente la fonctionf, une autre représente sa dérivée et une troisième repré- sente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonc- tionf.

Indiquer un intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.

-1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7

-1 -2

C2

C1

C3

O

Pondichéry Solution: Sur la figure, on remarque que la fonction associ´3 ee `16 avril 2015a C2 passe de positive `a n´egative en 0 lorsque la fonction associ´ee `a C1 passe de croissante `a d´ecroissante en 0.

Que la fonction associ´ee `aC1 passe de n´egative `a positive en 1 lorsque la fonction associ´ee `a la courbe C3 passe de d´ecroissante `a croissante en 1. On en d´eduit que f est associ´ee `aC3, f<sup>0</sup> `a la courbe C1 et f⁰⁰ `a la courbeC3.

On en d´eduit que f est convexe sur ]−4; 0[