T 5/11 DS 4 19 d´ecembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Graphique (10 minutes) (4 points)
La courbe Cf ci-contre repr´esente une fonction f d´efinie et d´erivable surR. On a trac´e la tangenteT `a Cf au pointA(1; 4).
1. D´eterminer f0(1)
2. Cf admet-elle des points d’inflexion ? Pr´eciser ce point.
3. ´Etudier la convexit´e et la concavit´e de f.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
0 Cf
A
T
Exercice 2 : Probabilit´e (20 minutes) (8 points)
Une enquˆete a ´et´e r´ealis´ee aupr`es des ´el`eves d’un lyc´ee afin de connaˆıtre leur sensibilit´e au d´eveloppement durable et leur pratique du tri s´electif.
L’enquˆete r´ev`ele que 70 % des ´el`eves sont sensibles au d´eveloppement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au d´eveloppement durable, 80 % pratiquent le tri s´electif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au d´eveloppement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent le tri s´electif. On interroge un ´el`eve au hasard dans le lyc´ee. On consid`ere les ´ev`enements suivants :
S : L’´el`eve interrog´e est sensible au d´eveloppement durable.
T : L’´el`eve interrog´e pratique le tri s´electif.
Les r´esultats seront arrondis `a 10−2.
1. Construire un arbre pond´er´e d´ecrivant la situation.
2. Calculer la probabilit´e que l’´el`eve interrog´e soit sensible au d´eveloppement durable et pratique le tri s´electif.
3. Montrer que la probabilit´e P(T) de l’´ev`enementT est 0,59.
4. On interroge un ´el`eve qui ne pratique pas le tri s´electif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au d´eveloppement durable sont inf´erieures `a 10 % ?
5. On interroge successivement et de fa¸con ind´ependante quatre ´el`eves pris au hasard parmi les ´el`eves de l’´etablissement.
On admet que le nombre d’´el`eves est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage `a un tirage avec remise.
Soit X la variable al´eatoire qui donne le nombre d’´el`eves pratiquant le tri s´electif parmi les 4 ´el`eves interrog´es.
(a) Justifier que la variable al´eatoire X est une loi binomiale on d´eterminera les param`etres.
(b) Calculer la probabilit´e qu’aucun des quatre ´el`eves interrog´es ne pratique le tri s´electif.
(c) Calculer la probabilit´e qu’au moins deux des quatre ´el`eves interrog´es pratiquent le tri s´electif.
T 5/11 DS 4 Page 2 sur 2
Exercice 3 : ´Etude d’une fonction (15 minutes) (5 points)
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [2; 5] par f(x) = (3−x)ex+ 1.
1. Montrer que pout tout r´eel x appartenant [2; 5],f0(x) = (2−x)ex. 2. ´Etudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle [2; 5].
3. Exprimerf00(x) en fonction de x.
4. En d´eduire la convexit´e et la concavit´e def sur cet intervalle.
Exercice 4 : Graphique 2 (10 minutes) (3 points)
Dans le rep`ere orthogonal ci-dessous trois courbesC1,C2 etC3 ont ´et´e repr´esent´ees. L’une de ces courbes repr´esente une fonction f, une autre f0 et une troisi`eme repr´esente sa d´eriv´ee seconde.
Expliquer comment ces repr´esentations graphiques permettent de d´eterminer la convexit´e de la fonction f.
Indiquer sur lequel la fonctionf est convexe.
Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.
2. Écrire la matriceMde transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C).
3. On donne
M2=
⎛
⎝0,42 0,22 0,36 0,19 0,27 0,54 0,28 0,04 0,68
⎞
⎠ et M20≈
⎛
⎝0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625
⎞
⎠.
CalculerN2. Interpréter le résultat obtenu.
4. CalculerN0×M20. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse.
5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.
Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.
À l’instantt=0, le site C est donc infecté.
a. Quelle est la probabilité qu’à l’instantt=1 le site A soit infecté ?
b. Quelle est la probabilité qu’à l’instantt=2 les trois sites soient infectés ?*
EXERCICE 3 4 points
Commun à tous les candidats
On s’intéresse à la fonctionf définie surRpar
f(x)= −2(x+2)e−x.
Partie A
1. Calculerf(−1) et en donner une valeur approchée à 10−2près.
2. Justifier quef′(x)=2(x+1)e−xoùf′est la fonction dérivée def. 3. En déduire les variations de la fonctionf.
Partie B
Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbesC1,C2etC3ont été représentées.
L’une de ces courbes représente la fonctionf, une autre représente sa dérivée et une troisième repré- sente sa dérivée seconde.
Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonc- tionf.
Indiquer un intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.
-1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
-1 -2
C2
C1
C3
O
Pondichéry 3 16 avril 2015
