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Montrer que K est un compact de E

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Academic year: 2021

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ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015 S4 Printemps

Parcours : Maths fondamentales Code UE : N1MA4011

Epreuve : Topologie des espaces m´etriques, DS2 Date : 15/04/2015 Heure : 14h-15h20

Aucun document autoris´e

COLLEGE SCIENCES

ET

TECHNOLOGIES

Exercice 1(Question de cours) Topologie produit?

Exercice 2

Applications lin´eaires Exercice 3

1. Soit (E, d) un espace metrique compact, et f une application continue sur E. On note K l’ensemble des points fixes de E:

K ={x∈E, f(x) =x}.

Montrer que K est un compact de E.

2. On suppose quef v´erifie

∀(x, y)∈E×E, x6=y =⇒ d(f(x), f(y))< d(x, y).

En ´etudiant la fonction x7→d(x, f(x)), montrer que K est r´eduit `a un singleton.

3. Etudier le cas deX = [0,1].

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