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Universit´ e Bordeaux1, 2013. MA4011, Topologie des espaces m´ etriques.
Mme Strouse.
CORRIGE : Devoir surveill´ e du 20 Mars.
Sans documents (1h20).
Exercice 1 Soit E l’ensemble {a, b, c, d, e}. On munit E avec τ = {∅, {a, c}, {a, b, c, d, e}}.
(a) Donner la d´ efinition de l’int´ erreur d’un ensemble Adans un espace topologique (E, τ ).
On dit que x ∈ int(A) si et seulement si ∃
U∈τtel que x ∈ U ⊆ A. OU int(A) est le plus grand ouvert contenu dans A.
(b) Trouver l’int´ erieur et l’adh` erence de l’ensemble B = {a, b, c} dans l’espace topologique (E, τ).
Int(B) = {a, c} car, que ils sont les seuls ´ el´ ements de τ qui sont contenu dans B et alors {a, c} est le plus grand ´ el´ ement de τ (ouvert) contenu dans B.
(c) Est-ce qu’il existe une distance d : E × E → R
+telle que τ est associ´ ee avec d ?
Non, tout espace m´ etrique est separ´ e, et (E, τ ) ne l’est pas.
Exercice 2 Soit R
2mini de la distance :
d
1((x
1, x
2), (y
1, y
2)) = |x
1− y
1| + |x
2− y
2|.
(a) Trouver l’int´ erieur et l’adh` erence de l’ensemble
F = {(x, y) : 0 < x ≤ 3 et 1 ≤ y < 4}
Int(F ) = I = {(x, y) : 0 < x < 3 et 1 < y < 4}.
Demonstration I ⊆ F et I est un ouvert et donc tout point dans I est un point int´ erieur de F . Si v ∈ F \ I alors v = (3, y) pour un certain y ou v = (x, 1) pour un certain x. Si v = (3, y) et > 0 alors (3 +
2, y) ∈ B(3, y), ) et (3 +
2
, y) 6∈ F Donc ∀
>0B((3, y), ) 6⊆ F et (3, y) n’est pas un point int´ erieur de F.
Le mˆ eme raisonnement donne que les points de la forme (x, 1) ne sont pas des points int´ erieur de F. Mais l’ int´ erieur de F est contenu en F et donc c’est ´ egal
` a I.
Adh` erence(F ) = A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 4}.
Demonstration : F ⊆ A et A est ferm´ e, donc Adh` erence(F ) ⊆ A et, (x, y) 6∈ A
alors il y a un rectangle (boule pour d
1) autour de (x, y) qui n’intersecte pas F ,
donc, A
c∪ Adh` erence F = ∅ et A ⊆ Adh` erence(F ).
2
(b) Faˆıtes de mˆ eme si R
2est muni de
dbornee((x1, x2),(y1, y2)) =
(d1((x1, x2),(y1, y2)) sid1((x1, x2),(y1, y2))≤3;
3 sinon .
Les r´eponses sont les mˆemes car les distancesd1etdborneesont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 3 Etudier la convergence de la suite (1 +´ 1n,2).dans R2 muni de la dis- tance discrˆete .
ddiscrete((x1, x2),(y1, y2)) =
(0 si (x1, x2) = (y1, y2));
1 sinon .
La suite ne converge pas car les seules suites convergentes pour la topologie discrˆete sont les suites ´eventuellement constante.
Exercice 4 Soit d1 d´efinie comme dans l’exercice 2, et soit dusuelle la distance sur Rd´efinie par dusuelle(x, y) =|x−y|.
(a) ´Etudier la continuit´e de la fonction :g: (R, dusuelle)→(R2, d1; g(x) = (x,0).
Il y a BEAUCOUP de facons d’etablir la continuit´e. On peut dire, par exemple, que si xn → x alors g(xn) = (xn,0)→ (x,0) = g(x). Ou ´etablir que g−1(Bd1((x,0), )) = B(x, ) donc g−1 de n’importe quel ouvert est ouvert...
(b) Donner un exemple d’une fonction f : (R, dusuelle) → (R2, ddiscrete) qui n’est pas continue.
Par exemple la fonction g de (a), car (1n) → 0 en (R, dusuelle) mais g(n1) = (1n,0) 6→
(0,0) dans(R2, ddiscrete).
Exercice 5 On definitd:R→R+ pard(x, y) =|ex−ey|.
(a) Montrer que (R, d) est bien un espace m´etrique.
Routine
(b) La distance dest-elle m´etriquement ´equivalente `a la distance dusuelle de l’exercice 4 ?
Non, car |e|x−y|x−ey| est arbitrairement grand ; donc il n’y a pas de c∈R+ tel qued(x, y) =
|ex−ey| ≤c|x−y|.
(c) La distancedest-elle topologiquement ´equivalente `a la distancedusuellede l’exercice 4 ?
Oui, la continuit´e de la fonction g et de son inverse ln donne une ´equivalence topolo- gique.
Exercice 6 SoitX =Ret soitd1 etd2 les distances
d1(x, y) =
(0, siv=w;
|x−1|+|1−y| sinon .
3
d2(x, y) =
(0, si v=w;
|x−3|+|3−y| sinon .
Montrer que (R, d1) et (R, d2) sont des espaces topologiques hom´eomorphes.
C’est vraie car la fonction φ: (R, d1) → (R, d2); φ(x) = x+ 2 est une bijection telle que et φ et φ−1 sont continues. Pour le d´emontrer, on voit que xn →x en (R, d1) ssi (i)x 6= 1 et xn = x pour tout sauf un nombre fini de n ou(ii) x = 1 et xn → 1 en (R, dusuelle) ssi (i)φ(x) 6= 3 et φ(xn) = x pour tout sauf un nombre fini de n ou(ii) φ(x) = 3 et φ(xn)→3 en (R, dusuelle) ssi φ(xn)→φ(x).
