Topologie des espaces m´ etriques - Feuille de TD 2

Topologie des espaces m´ etriques - Feuille de TD 2

Exercice1 (les trois r`egles d´efinissant une distance sont-elles bien respect´ees ?). (1) Voici cinq fonctionsd :R×R→R. Parmi toutes ces fonctions, lesquelles

sont des distances ? Lorsque c’est le cas, dire explicitement ce que sont, relativement `a cette distanced, les boules ouvertes de centre le point 1 et de rayon 1/3 et 2.

d1 : (x, y)7→x−y ;

d₂ : (x, y)7→ |x^2p−y^2p| (p∈N^∗) ; d3 : (x, y)7→ |x^2p+1−y^2p+1| (p∈N) ; d4 : (x, y)7→

(1/2 si x6=y

0 sinon ; d5 : (x, y)7→

(|x−2|+|2−y|six6=y 0 sinon.

(2) Soit f une fonction de R dans R : `a quelle condition sur f la fonction d : (x, y)∈R²7−→ |f(x)−f(y)|d´efinit-elle une distance sur R?

Exercice2 (une bien curieuse distance !).

(1) SoitE un ensemble contenant plus de deux ´el´ements etdl’application de E×E dans [0,+∞[ d´efinie par

d(x, y) =

(1 six6=y 0 six=y.

Montrer quedd´efinit une distance non triviale (c’est-`a-dire diff´erente de la distance identiquement nulle) sur l’ensembleE.

(2) D´ecrire ce que sont les ouverts et les ferm´es de l’espace m´etrique (E, d), dd´esignant la distance introduite `a la premi`ere question.

Exercice 3. Soit (E, d) un espace m´etrique et soit ϕ : R⁺ → R⁺ une application v´erifiant

∀(t1, t2)∈R⁺ ϕ(t1+t2)≤ϕ(t1) +ϕ(t2) et ϕ(t) = 0⇔t= 0

(1) Montrer que l’applicationδ : E×E→R⁺d´efinie parδ(x, y) =ϕ(d(x, y)) est une distance surE.

(2) Application `a :

ϕ₁(t) = inf(1, t) ; ϕ₂(t) = ln(1 +t) ; ϕ₃(t) = t 1 +t

(on v´erifiera quedetδd´efinissent la mˆeme topologie dans les trois cas).

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2 TOPOLOGIE DES ESPACES M ´ETRIQUES - FEUILLE DE TD 2

Exercice4 (la distanceSNCF).

(1) Soit E l’ensemble de toutes les gares SNCF en France. On d´esigne par dSNCF(x, y) la distance kilom´etrique minimale `a parcourir pour relier (en op´erant autant de changements que n´ecessaires) les deux garesxet yvia le r´eseau SNCF. V´erifier quedd´efinit bien une distance surE.

(2) Montrer que l’on d´efinit bien une distance dans le plan R² (dite parfois distance SNCF du temps o`u tout le r´eseau ferr´e fran¸cais se pr´esentait en

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etoile depuis Paris) en posant : d(X, Y) =

(kX−Yk siX, O, Y sont align´es kOXk^−→ +kOY^−→ksinon.

(O d´esigne ici l’origine (0,0), par exemple Paris, et la norme k k des vecteurs est ici la norme euclidienne usuelle).

(3) On noteP+ le demi-plan sup´erieur,P+={X(a, b)|b >0}. Montrer que P+est ouvert pour la distance d´efinie `a la question2et d´eterminerP+. Exercice5 (une collection de normes surQindex´ee par les nombres premiers).

(1) V´erifier queQposs`ede bien une structure deQ-espace vectoriel.

(2) SiA/B(A, B∈N^∗) est une fraction strictement positive ´ecrite sous forme r´eduite et quepest un nombre premier, on pose

|A/B|p=p^−ν

o`u ν ∈Zd´esigne l’exposant de pqui apparait lorsque l’on factorise A et Ben puissances de nombres premiers. Montrer que l’on d´efinit une norme

| |p sur leQ-espace vectorielQen posant|x|p = 0 six= 0 et|x|p=| |x| |p

six6= 0 (|x|d´esigne ici la valeur absolue usuelle). V´erifier que cette norme

| |p satisfait|x+y|p≤max(|x|p,|y|p) pour tousx, y∈Q.

(3) Existe-t-il des constantes κp>0,Kp >0 telles que κp|x| ≤ |x|p≤Kp|x|

pour toutx∈Q?

(4) Si p1 et p2 sont des nombres premiers distincts, existe-t-il des constantes κp1,p2 > 0, Kp1,p2 > 0 telles que κp1,p2|x|p1 ≤ |x|p2 ≤ Kp1,p2|x|p1 pour toutx∈Q?

Exercice6. SoitC([0,1]) l’ensemble des applications continues de [0,1] dans R; on posed(f, g) = sup

x∈[0,1]

|f(x)−g(x)|.

(1) Montrer quedd´efinit une distance surC([0,1]).

(2) D´eterminer pour quels r > 0 la fonction f d´efinie pour x ∈ [0,1] par f(x) = 2x+¹₂ est un ´el´ement deB(g, r), avecg la fonction d´efinie pour x∈[0,1] parg(x) =x².

(3) Mˆemes questions pourd(f, g) =R1

0 |f(x)−g(x)|dx.