L3B – Topologie 2019-2020
Feuille d’exercices 2 : topologie de R
Exercice 1 : Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il est ouvert, ferm´e, born´e puis d´eterminer son int´erieur et son adh´erence.
N Z Q Z∪]0,1[ Q∩]0,1[
Exercice 2 : Soit (un)n∈N une suite r´eelle qui converge vers ` ∈ R. D´etermniner l’adh´erence de A ={un, n∈N}.
Exercice 3 : Dire sans faire de calcul si les ensembles suivants sont ouverts, ferm´es, ou ni l’un ni l’autre.
(1) A1 = [
n≥2
1 + 2
n2,3− 1 2n
(2) A2 = \
n∈N∗
sin
n n2+ 1
,4
(3) A3 = \
n≥2
3− 2
n2,3 + 2n n−1
(4) A4 = [
n∈N∗
−2
n,2 + n n+ 1
Exprimer chacun des Ai,i= 1,2,3,4 comme un intervalle.
Exercice 4 : Exprimer les parties suivantes deR `a partir d’images r´eciproques de sous- ensembles plus simples. D´eterminer si elles sont ouvertes, ferm´ees. . .
A={x∈R||x2−1| ≤2} B ={x∈R: cosx≤0} C ={x∈R|chx >2 ou chx <−4}
D={x∈R|sinx >1/3 et cosx <1/5} E ={x∈R|sinx≥2} F ={x∈R|cosx6=e−x} Exercice 5 : Si f est une fonction continue, on pose
A={x∈R:f(x)>0} et B ={x∈R:f(x)≥0}.
Montrer que A⊂B et A⊂B˚mais qu’il n’y a pas ´egalit´e en g´en´eral.
Exercice 6 : Soient A et B deux parties deR. 1. Montrer que, si A⊂B, alors ˚A⊂B˚etA ⊂B.
2. ComparerA˚etA;A˚˚et ˚A
3. Pour chacune des paires d’ensembles suivantes, dire quelles inclusions sont vraies ou fausses, et le justifier.
(a) ˚A∪B˚et z }| {˚
A∪B (b) ˚A∩B˚et z }| {˚
A∩B (c)A∪B et A∪B (d)A∩B etA∩B
Exercice 7 : SoitS une partie deR. On dit que p∈S est unpoint isol´e deS s’il existe ε >0 tel que ]p−ε, p+ε[∩S ={p}. On note Isol(S) l’ensemble des points isol´es de S.
On dit que p est un point d’accumulation de S si (]p−ε, p[∪]p, p+ε[)∩S 6= ∅ pour tout ε >0. On note Acc(S) l’ensemble des points d’accumulation de S.
1. Donner un exemple d’ensemble S avec un point isol´e, un point d’accumulation qui appartient `aS, et un point d’accumulation qui n’appartient pas `a S.
2. Montrer que Isol(S)∪Acc(S) =S et que Isol(S)∩Acc(S) =∅.
3. Montrer que Acc(S) est un ferm´e de R. Donner un exemple o`u Isol(S) n’est pas ferm´e.
4. Montrer que, si x∈Isol S
, x∈S.
5. Montrer qu’un ensemble compact dont tous les points sont isol´es est fini.
6. Si A est ferm´e et x est isol´e dansA, alors A\ {x} est ferm´e.
Exercice 8 : Soit A une partie non vide born´ee deR.
1. Montrer que supA est l’unique r´eel qui soit `a la fois un majorant de A et un point adh´erent `a A.
2. Montrer que siA n’admet pas de plus grand ´el´ement, supA est un point d’accumu- lation de A.
Exercice 9 : Soit (xn)n∈N une suite `a valeurs r´eelles. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erences de la suite (xn) est ferm´e.
On pose pour tout n ∈ N Xn = {xk, k ≥ n}. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erences de la suite (xn) est exactementT
n∈NXn. En d´eduire une autre d´emonstration du fait qu’il est ferm´e.
Exercice 10 : Soit A une partie non vide de R. Pour tout r´eel x on pose f(x) = inf{|x−a|, a ∈A}
la distance de x`a A.
1. Calculerf dans les cas : A=]0,1],A= [0,1],A=Q.
2. Montrer quef est 1-lipschitzienne sur R et en d´eduire qu’elle est continue.
3. Montrer quef(x) = 0 si et seulement six∈A.
Exercice 11 : Soient A et B deux parties non vides de R. On pose d(A, B) = inf{|a−b|, a∈A, b∈B}
la distance entre A etB.
1. Montrer que si A est ferm´e et B est compact, alors d(A, B) = 0 si et seulement si A∩B 6=∅.
2. Montrer que siA etB sont deux compacts disjoints, il existe deux ouverts U etV tels que A⊂U, B ⊂V etU ∩V =∅.
3. Donner un exemple de ferm´esA et B tels que d(A, B) = 0 et A∩B =∅.
Exercice 12 : Soit (Ωi, i ∈ I) une famille d’ouverts qui recouvre l’intervalle [0,1]. On pose M={t∈[0,1]| ∃J ⊂I, J finiet [0, t]⊂ ∪i∈JΩi}, et m= supM. Montrer que M est un intervalle qui contient 0, puis montrer que m = 1, et enfin que m∈ M. Qu’a-t-on d´emontr´e ?
