Feuille 4 : Topologie dans R

le caractère C^1

5

sin

0

6

1/2

1/2

à justifier

7

8

6

9

10

(vrai aussi si k=0) 0

si k non nul.

11

Le théorème d’inversion locale affirme alors que phi est un C^1-difféomorphisme local, et comme phi est bijective, c’est un difféomorphisme global.

12

Universit´e Pierre et Marie Curie

Pr´eparation au capes de math´ematiques Ann´ee 2008-2009

Fr´ed´erique Petit

Corrig´e de la premi`ere ´epreuve du CAPES agricole 2008

Premi`ere partie

1. L’application t !→ e^−t est continue sur R₊ o`u elle est donc localement int´egrable. De plus, pour tout nombre r´eel A >0, on a :

! A

0

e^−tdt="

−e^−t#A

0 = 1−e^−A.

Comme e^−A admet une limite (nulle) lorsque Atend vers +∞, il s’ensuit que l’int´egrale $+∞ 0 e^−tdt est convergente (et vaut 1).

L’application t!→e^−t2 est continue sur R₊ o`u elle est donc localement int´egrable. Compte tenu de la croissance de la fonction exponentielle, pour tout nombre r´eel t≥1, on a l’encadrement :

0≤e^−t2 ≤e^−t,

de sorte que, d’apr`es le crit`ere de comparaison des int´egrales des fonctions positives, la convergence de l’int´egrale $+∞

1 e^−tdtentraˆıne celle de $+∞

1 e^−t2dt et donc celle de$+∞

0 e^−t2dt.

2. a.

r Cr

Qr

Q^′_r

r√ 2

b. De la double inclusion Qr ⊂Cr ⊂Q^′_r et de la positivit´e de l’application f, on d´eduit la double in´egalit´e demand´ee.

1 Exercice 143

c. Pour tous nombres r´eels strictement positifs a etr, on note

Q(a, r) = {(x, y)∈E;x≥0, y ≥0, x² +y²≤a r²}. Calculons$ $

Q(a,r)f(x, y)dx dy(ces int´egrales existent puisqu’on int`egre une application de continue sur un domaine born´e). On passe en coordonn´ees polaires : x=ρcosθ, et y=ρsinθ.

! !

Q(a,r)

f(x, y)dx dy=

! ^π₂

0

! r√a 0

f(ρcosθ,ρsinθ)ρdθdρ=

! ^π₂

0

! r√a 0

e^−ρ2ρdθdρ

=

! ^π₂

0

dθ

! r√a 0

e^−ρ2ρdρ= π 2

%

−1 2e^−ρ2

&r√a 0

= π

4(1−e^−ar2).

Comme Q(1, r) =Qr etQ(2, r) =Q^′_r, il s’ensuit que Jr = ^π₄ (1−e^−r2) et J_r^′ = ^π₄(1−e^−2r2).

d. Comme Ir = $ $

Cre^−x2e^−y2 dx dy = $r

0 e^−x2dx $r

0 e^−y2dy = '

$r

0 e^−x2dx(2

, la double in´egalit´e Jr ≤Ir≤J_r^′ se traduit par

π

4 (1−e^−r2)≤ )! r

0

e^−x2dx

*2

≤ π

4 (1−e^−2r2).

e. Comme ^π₄ (1−e^−r2) et ^π₄ (1−e^−2r2) tendent vers la mˆeme limite ^π₄ lorsque r tend vers +∞, on d´eduit de l’encadrement pr´ec´edent que '

$+∞

0 e^−x2dx(2

= ^π₄, c’est-`a-dire que $+∞

0 e^−x2dx = ^√₂^π puisque cette derni`ere int´egrale est positive (on int`egre de 0 `a +∞ une fonction positive).

Deuxi`eme partie

Quelques propri´et´es de la fonction Γ

1. Soit x≥0.

L’application t !→ t^xe^−t est continue sur [0,+∞[ donc elle y est localement int´egrable. Comme t^x+2e^−t tend vers 0 quand t tend vers +∞, il existe un nombre r´eel strictement positif A tel que :

∀t≥A, 0< t^x+2e^−t≤1, donc tel que ∀t≥A, 0< t^xe^−t≤ 1 t². Comme $+∞

A dt

t² converge (int´egrale de Riemann avec α = 2 > 1), le crit`ere de comparaison des int´egrales des fonctions positives entraˆıne que $+∞

A t^xe^−tdt converge aussi. Ainsi, l’int´egrale

$+∞

0 t^xe^−tdt est convergente pour tout nombre r´eelx positif ou nul.

Soit x <0.

L’application t !→t^xe^−t est positive et continue sur ]0,+∞[ donc elle y est localement int´egrable.

2

compact

(à rédiger)

2017-2018 M1EEF – UGA

Feuille 4 : Topologie dans R

ZZ

(x,y)2Q(a,r)

f(x, y)dxdy = ZZ

(⇢,✓)2[0,rpa]⇥[0,^⇡₂]

f(⇢cos✓,⇢sin✓)⇢d⇢d✓ = ZZ

(⇢,✓)2[0,rpa]⇥[0,^⇡₂]

e ^⇢2⇢d⇢d✓

=

Z rp a 0

e ^⇢2⇢d⇢

! Z ⇡/2 0

d✓

!

= ⇡ 2

h 1

2e ^⇢2irp a

0 = ⇡

4(1 e ^ar2).

c. Pour tous nombres r´eels strictement positifs a etr, on note

Q(a, r) = {(x, y)∈E;x≥0, y ≥0, x² +y²≤a r²}. Calculons$ $

Q(a,r)f(x, y)dx dy(ces int´egrales existent puisqu’on int`egre une application de continue sur un domaine born´e). On passe en coordonn´ees polaires : x=ρcosθ, et y=ρsinθ.

! !

Q(a,r)

f(x, y)dx dy=

! ^π₂

0

! r√a 0

f(ρcosθ,ρsinθ)ρdθdρ=

! ^π₂

0

! r√a 0

e^−ρ2ρdθdρ

=

! ^π₂

0

dθ

! r√a 0

e^−ρ2ρdρ= π 2

%

−1 2e^−ρ2

&r√a 0

= π

4(1−e^−ar2).

Comme Q(1, r) =Qr etQ(2, r) =Q^′_r, il s’ensuit que Jr = ^π₄ (1−e^−r2) et J_r^′ = ^π₄(1−e^−2r2).

d. Comme Ir = $ $

Cre^−x2e^−y2 dx dy = $r

0 e^−x2dx $r

0 e^−y2dy = '

$r

0 e^−x2dx(2

, la double in´egalit´e Jr ≤Ir≤J_r^′ se traduit par

π

4 (1−e^−r2)≤ )! r

0

e^−x2dx

*2

≤ π

4 (1−e^−2r2).

e. Comme ^π₄ (1−e^−r2) et ^π₄ (1−e^−2r2) tendent vers la mˆeme limite ^π₄ lorsque r tend vers +∞, on d´eduit de l’encadrement pr´ec´edent que '

$+∞

0 e^−x2dx(2

= ^π₄, c’est-`a-dire que $+∞

0 e^−x2dx = ^√₂^π puisque cette derni`ere int´egrale est positive (on int`egre de 0 `a +∞ une fonction positive).

Deuxi`eme partie

Quelques propri´et´es de la fonction Γ

1. Soit x≥0.

L’application t !→ t^xe^−t est continue sur [0,+∞[ donc elle y est localement int´egrable. Comme t^x+2e^−t tend vers 0 quand t tend vers +∞, il existe un nombre r´eel strictement positif A tel que :

∀t≥A, 0< t^x+2e^−t≤1, donc tel que ∀t≥A, 0< t^xe^−t≤ 1 t². Comme $+∞

A dt

t² converge (int´egrale de Riemann avec α = 2 > 1), le crit`ere de comparaison des int´egrales des fonctions positives entraˆıne que $+∞

A t^xe^−tdt converge aussi. Ainsi, l’int´egrale

$+∞

0 t^xe^−tdt est convergente pour tout nombre r´eelx positif ou nul.

Soit x <0.

L’application t !→t^xe^−t est positive et continue sur ]0,+∞[ donc elle y est localement int´egrable.

2

( () )

(exercice 3)

(exercice 3)